数理统计-第13讲.ppt

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1、为了对离散型的和连续型的r.v以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法，引进了分布函数的概念.f(x)xo0.10.30.6kPK012———

2、——>x一、定义：设X是一个r.v，称为X的分布函数.记作X～F(x)或FX(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间的概率.问：在上式中，X,x皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)是r.vX取值不大于x的概率.由定义，对任意实数x1

3、-F(x1)因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.二、离散型r.v的分布函数设离散型r.vX的概率函数是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…则F(x)=P(Xx)=由于F(x)是X取的诸值xk的概率之和，故又称F(x)为累积概率函数.离散型随机变量分布函数的计算举例当x<0时，{Xx}=，故F(x)=0例1，求F(x).当0x<1时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=F(x)=P(Xx)解:当1x<2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=当x2时，F(

4、x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例1，求F(x).F(x)=P(Xx)解:故注意右连续下面我们从图形上来看一下.概率函数图分布函数图画分布函数图不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).例2X具有离散均匀分布，即P(X=xi)=1/n,i=1,2,…，n，x(1)x

5、2)…x(n)x(k)x

6、例3设r.vX的密度函数为f(x)求F(x).F(x)=P(Xx)=解：求F(x).解：对x<-1，F(x)=0对对x>1，F(x)=1即四、分布函数的性质(1)F(x)非降，即若x1

7、，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.或者例5在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.解：设F(x)为X的分布函数，当x<0时，F(x)=P(Xx)=00a当x>a时，F(x)=1当0xa时，P(0Xx)=kx(k为常数)由于P(0Xa)=1ka=1，k=1/a0aF(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=x/a例5在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数

8、.解：设F(x)为X的分布函数，例5在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.这就是在区间[0，a]上服从均匀分布的随机变量的分布函数.请看演示概率密度与分布函数大家一起来作下面的练习.求F(x).例6设由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.=01F(x)对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出f(x)，请看下例.即例7设r.vX的分布函数为(1)求X取值在区间(0.3,0.