二次型-正定二次型.ppt

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1、quadraticform二次型一、二次型及其标准形的概念称为二次型.（我们仅讨论实二次型）二、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．§5.1二次型及其矩阵表示注意2.二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.若且，则1.二次型的矩阵总是对称矩阵，即（这表明在选定文字　　　　　下，二次型完全由对称矩阵A决定.)（1）约定①中aij=aji

2、，i

3、cij

4、≠0,则称③为非退化线性替换(non-degeneratelineartransformation).positivedefinitequadraticform正定二次型判定方法特征

5、值法:对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值全大于0。化标准形法:将二次型矩阵化为标准型看系数是否都为正。定义法:用正定矩阵的定义进项判定。顺序主子式法:对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式全大于0。惯性指数判别法:一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数其中1的个数p称为正惯性指数合同法：实对称矩A正定的充要条件是A与单位矩阵E合同。正定二次型一正定二次型的定义1定义设为实二次型，若对任何都有则称二次型是正定的（负定的），并称其对应的矩阵为正定矩阵例是正定的不是正定的（负定矩阵）。证明：必要性：记为即由

6、可逆矩阵可知道又故是正定的。对任意的记为即由可逆矩阵可知道又故是正定的。充分性：其中对任意的二正定的判断方法惯性指数判别法为正定的当且仅当fn元实二次型定理的正惯性指数推论矩阵A是正定的当且仅当A的全部特征值均为正例设n阶矩阵A是正定矩阵，证明（m为正整数）也正定矩阵注为负定的当且仅当n元实二次型的负惯性指数为主子式判别法（1）定义设n阶方阵方阵A的前k行和前k列所成的子式称为矩阵A的k阶主子式（2）为正定的当且仅当n元实二次型定理对称矩阵A的各阶主子式都大于零。注为负定的当且仅当n元实二次型对称矩阵A的各阶

7、满足证明：为负定的当且仅当二次型即二次型为正定的。显然二次型的k阶主子式为故由定理可得。例1二次型为t满足什么条件时，二次型是正定的；t满足什么条件时，二次型是负定的；解：二次型矩阵为则当即时二次型是正定的当即时二次型是负定的定义法例3设矩阵A,B矩阵正定矩阵，证明均是正定矩阵。证明：对任意的故是正定矩阵。对任意的2n维记其中为n维向量由可得或故例4设满足证明是正定二次型矩阵。证明：故A是对称矩阵。对任意的由可得记则故是正定二次型矩阵。例5设是正定矩阵,证明反对称矩阵,是正定矩阵,证明：对任意的是正定矩阵,反

8、对称矩阵,得故对任意的是正定矩阵,有由合同法§5.1二次型及其矩阵表示1.合同具有对称性（symmetry）：反身性（reflexivity）：注意1、定义设　，若存在可逆矩阵使，则称A与B合同(congruent).