第十九届(2008年)本科甲乙组试题.docx

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1、第十九届（2008年）北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题(有改动)班级：学号：姓名：一、填空题（每小题4分，共40分）1、极限________________________.2、设连续，在处可导，且满足则曲线在处的切线方程为______________________________________.3、设_________________________.4、设函数可导且，二元函数满足，则___________________.5、设D是由曲线和直线所围成的区域，是连续函数，则___________________

2、________.6、极限____________________.7、设_________________.8、交换积分次序：=___________.9、已知入射光线路径为，则此光线经过平面反射后的反射线方程为10、已知，则_________________________________.二、（8分）设，其中为连续函数，求，并讨论的连续性.4三、（8分）设在上二阶可导，且，而当时，，证明在内，方程有且只有一个实根。四、（10分）设在上连续，，求证：对于任意整数，必存在，使。4五、（8分）设有连续的二阶导数，且，求，

3、其中是曲线在点处切线在轴上的截距。六、（8分）设非负函数在上连续，且单调上升，与直线及围成图形的面积为，与直线及围成图形的面积为.⑴证明：存在唯一的,使得.⑵取何值时两部分面积之和取最小值？4七、（8分）设一平面垂直于平面，并通过从点到直线的垂线，求此平面的方程。八、（10分）如图，一平面均匀薄片是由抛物线及轴所围成的，现要求当此薄片以为支点向右方倾斜时，只要角不超过，则该薄片便不会向右翻倒，问参数最大不能超过多少？4