4、2-2(x<0)解(1)二♦已知函数的定义域是xN,•♦.值域为y>—1,由y=4x-1-1,得反函数y=(x+1)2+1(x)—1).4—1所示.函数y=Vx-1—1与它的反函数y=(x+1)2+1的图像如图2.解(2)由y=—3x2—2(x磷)得值域yw-2,反函数f-(x)=—L*2(xw—2).3它们的图像如图2.4-2所示.一一.一..3x11【例3】已知函数f(x)=(xw—a,aw-).xa3⑴求它的反函数；(2)求使f-1(x)=f(x)的实数a的值.一3x1解(1)设y=3x^,「.xw—a,xa•.y(x+a
5、)=3x+1,(y—3)x=1—ay,这里yW3,精品资料若y=3,则1、.，1一一a=-这与已知aw-矛盾,1-ay11-ax：x=,,即反函数f(x)=y-3x-3⑵若f(x)=f,(x),即3x21=t父对定义域内一切x的值恒成立,xax-3或解由f(x)=f-1(x),那么函数f(x)与f-1(x)的定义域和值域相同，定义域是｛x
6、x为，x贝｝，值域ygy
7、yw3,yCR｝,「.一a=3即a=—3.axb.一.【例4】已知函数y=f(x)=中，a、b、c、d均不为夺，cxd试求a、b、c、d满足什么条件时，它的反函数仍是
8、自身.解f(x)=a+bC~ad，二.常数函数没有反函数，cc(cxd).」」-dxb…bc-adw0•又f(x)=,cx-a要使一dx.b=丝土b,对定义域内一切x值恒成立，cx-acxd令x=0,得一a=d,即a+d=0.事实上，当a+d=0时，必有产仅尸造)，因此所求的条件是bc-ad^0,且a+d=0.【例5】设点M(1,2)既在函数f(x)=ax2+b(xR)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f-1(x),(2)证明f1(x)在其定义域内是减函数.精品资料精品资料2=a+b1=4a+b37b=一.12,，一f(x
9、)=--x+37-3(x>0)精品资料〜।12证(2)由y=——x+370_)•37(x>0)得反函数f"(x)=47—3x(x3精品资料设x17—3x2>0,J7—3x1>%；x—3x2,即f」(x1)>f」(x2),故f」(x)在(一007]上是减函数.3x-1【例6】若函数f(x)=/2,求f」(V2)的值.x-112x解法(一)先求函数f(x)=的反函数f(x)=,x21-x于是f[(•..2)1-2-5—3v2.解法(二)由函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)之间的一一对应关系，求f，
10、(也)的值，就是求f(x)=7'2时对应的x的值，：令得x=-5-3H2,即f」(4'2)=-5—3J2.x_1-=A2,x2【例7】已知a€R,且aw0,aw1.设函数f(x)证明y=f(x)的图像关于直线y=x对称.x-1由y=~,ax-1aw0,aw1,得(ay—1)x=y—1,1如果ay—1=0,贝Uy=一,a1x-1一..一一-=——彳4a=1,这与已知a*1矛盾,aax-1y—1ix—1••ay—1w0,故x=,:f(x)=,ay-1ax-1即证得f(x)=x-1…一一、,，——的反函数就是它本身.ax7因为原函数的
11、图像与其反函数的图像关于直线y=x对称,，函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称.精品资料WelcomeToDownload!!!欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料
