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1、处理球的“内切”“外接”问题一、球与棱柱的组合体问题：1正方体的内切球：设正方体的棱长为a,求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球半径。a(1)截面图为正方形EFGH的内切圆，得R—•2(2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆。为、/………2正方形EFGH的外接圆，易得R—ao2(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5,以对角面AA1作截面图得，圆。为矩形AA1cle的外接圆，易得RA1O.3—ao2精品资料设正三棱柱底面边长为a,则R2a,正三棱
2、柱的图6AA1和它们的球心作截面,图52.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa,求这个球的表面积是.【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】3.已知底面边长为a正三棱柱ABCAB1cl的六个顶点在球O1上，又知球02与此正三棱柱的5个面都相切，求球。1与球。2的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6,由题意得两球心01、02是
3、重合的，过正三棱柱的一条侧棱高为h2R2也a,由RtA1D1O中，得3精品资料2Ri,32一a32R23——a652—a,12RiS1:S2R12:R225:1,V1:V25医1二棱锥的内切、外接球问题2.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点。是内切球的球心，正四面体棱长为a.由图形的对称性知，点。也是外接球的球心.设内切球半径为r,外接球半径为R.在RtBEO中，BO2BE2EO2,即R2—ar2,得R—a,34得R3r【点评】由于正
4、四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为—（h为正四面体的4高），且外接球的半径3h,从而可以通过截面图中RtOBE建立棱长与半径4图1之间的关系。3.正三棱锥SABC,底面边长为3,侧棱长为2,则其外接球和内切球的半径是多少4.正四棱锥SABCD,底面边长为2,侧棱长为3,则其外接球和内切球的半径是多少练习：1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为J2,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为2.（球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个
5、顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为。3.设P,A,B,C是球O面上的四点，且PA,PB,PC两两互相垂直，若PAPBPCa,则球心O到截面ABC的距离是^4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥SABC中，侧棱SC侧面SAB,侧棱SC2,则此正三棱锥的外接球的表面积为5.（球内接棱柱问题）若一个底面边长为百，棱长为J6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，2则此球的体积为.6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点），则
6、此内切球与外接球表面积之比为。7.（球内接正四棱锥问题）半径为R的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥.则四棱锥的体积为.8.（正三棱锥球内切问题）正三棱锥的高为3,底面边长为8J3,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.则精品资料球的表面积与体积分别为.1.三棱锥ABCD的两条棱ABCD6,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球半径.说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等,都为球半径R.这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决.精品资料精品资料13
7、;214;3£a；412；5-;61:5;7264256§;"8T精品资料WelcomeToDownload!!!欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料
