离散数学离散型随机变量

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1、12.3离散型随机变量12.3.1离散型随机变量及其分布律12.3.2常用分布0-1分布,二项分布,泊松分布,超几何分布几何分布,巴斯卡分布,负二项分布12.3.3数学期望12.3.4方差切比雪夫不等式1随机变量随机试验结果的数字化.例如,掷硬币试验,令定义12.5设随机试验的样本空间为,称定义在上的实值函数X:→R为随机变量.通常把X()简记作X.只可能取到有穷个或可数无穷个值(即为离散样本空间)的随机变量称作离散型随机变量2离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X可能取到的值为a1,a2,…(有穷个或可数无穷个),称P{X=ak}

2、=pk,k=1,2,…,为X的概率分布律,简称为分布律.性质:(1)k,0≤pk≤1,例如,掷硬币试验P{X=1}=0.5,P{X=0}=0.53实例例1套圈游戏.某人反复套同一个目标,直到套中为止,把套中目标所用的次数记作X.设他每次套中目标的概率为p(0

3、,Y=bj}=piqj,i,j=1,2,…,则称X和Y相互独立.设X1,X2,…,Xn是n个离散型随机变量,Xi的分布律为P{Xi=aij}=pij,j=1,2,…,i=1,2,…,n如果j1,j2,…,jn,事件{X1=},…,{Xn=}相互独立,则称X1,X2,…,Xn相互独立.随机变量的独立性5常用分布1.0-1分布P{X=1}=p,P{X=0}=q,其中q=1p,0

4、红球.从中任取n(n≤NM)个,记这n个球中的红球数为X,则X服从超几何分布.5.几何分布P{X=k}=qk1p,k=1,2,…,其中q=1p,设在伯努利试验中,每次试验A发生的概率为p(0

5、X服从负二项分布.8数学期望定义12.7设离散型随机变量X的分布律为P{X=ak}=pk,k=1,2,…如果绝对收敛,则称它是X的数学期望,简称期望,记作E(X),或EX.即,E(X)=例20-1分布的数学期望E(X)=0×q+1×p=p.9实例例3某甲练习打靶,对一个靶标射击直到击中为止,然后转向下一个靶标.设甲的命中率为p(0

6、}=pk,k=1,2,…,又Y=(X).如果绝对收敛,则E(Y)=证设Y=(X)的可能取值为bi,i=1,2,…,记pi=P{Y=bi},则随机变量函数期望的计算公式11期望的性质性质12.3.1E(C)=C.性质12.3.2E(CX)=CE(X).性质12.3.3E(X±Y)=E(X)±E(Y).更一般地,E(X1±X2±…±Xn)=E(X1)±E(X2)±…±E(Xn).性质12.3.4如果X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y).更一般地,如果X1,X2,…,Xn相互独立,则E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn

7、).性质12.3.5施瓦兹(Schwarz)不等式[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2).12实例例4二项分布的数学期望解设X~B(n,p),把X看作n次伯努利试验中事件A发生的次数,令则X=X1+X2+…+Xn.于是,E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=np.13方差定义12.8如果E[(XEX)2]存在,则称它为随机变量X的方差,记作D(X)或DX,即D(X)=E[(XEX)2].设X的分布律为P{X=ak}=pk,k=1,2,…,则14方差的计算公式D(X)=E(X2)(EX)2证D(X)=E[(XEX)2]=E[X

8、22XEX+(EX)2]=E(X2)E(2XEX)+E[(EX)2]=E(X2)2(EX)(EX)+(EX)2=E(X2)(EX)2.例50-