解析“四类”切线问题

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1、解析“四类”切线问题曲线的切线问题是近几年高考考查的一个热点问题。在曲线切线问题中有“曲线在某点的切线”“曲线过某点的切线”“已知斜率的切线”以及“两曲线的公切线”等四类常见的切线问题，同学们在解答此类问题时容易出现错误，事实上，无论是何种类型的切线只要紧紧抓住“切点”及切点的“二重性”，问题就迎刃而解。1.在某点的切线例1曲线y=在点（-1，-1）处的切线方程为（）。Ay=2x+1By=2x-1CY=-2x-3Dy=-2x-2解析：因为y=，所以y′==，k=y′

2、x=-1=2。所以曲线在点（-1，-1）处的切线方程为y+1=2（x+1），即y=2x+1，选A。点评：曲线在

3、某点处的切线，该点即为切点，解题关键是利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式写出方程。如果该点的导数不存在，可由切线的极限定义求出切线方程。2.过某点的切线例2已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是。第4页共4页解析：设过点P（2，4）的切线的切点坐标为Q（x0，y0），则切线在点Q的切线的斜率为k=y′

4、x=x0=x02于是，得在点Q处的切线方程为y-y0=x02（x-x0）。因为切线过点P（2，4），所以4-y0=x02（2-x0）（1）又点Q在曲线y=x3+上，所以y0=x03+（2）由（1）（2）解得x0=2y0=4或x0=-1y0=1于是，得所求的切线方程

5、有两条：4x-y-4=0或x-y+2=0点评：求曲线过某点的切线方程，该点未必是切点，因此，应首先设出切点坐标，求出曲线在切点处的切线方程，然后利用该点在切线上，求出切点坐标，最后由点斜式写出切线方程。3.已知斜率的切线例3：已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）。A.1B.2C.-1D.-2解析：设直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）的切点为（x0，y0），则y0=ln（x0+a）。又y′=所以y′

6、x=x0==1即x0+a=1于是，得切点坐标为（1-a，0）又切点（1-a，0）在直线y=x+1上，所以1-a+1=0，解得a=2，选B。点评：对于斜

7、率已知的切线问题，解题的关键还是要设出切点坐标，根据切点在曲线上及该点的导数为切线的斜率，求出切点坐标，结果代入切线方程，即可求得参数的值。第4页共4页4.两曲线的公切线例4：已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2ln+b，其中a>0，设两曲线f（x），g（x）有公共点，且在该点处有共同的切线，（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求证：f（x）≥g（x）；解析：（1）因为y=f（x）与y=g（x），（x>0）在点（x0，y0）处的切线相同，所以f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），解得x0=a，x0=3a（舍去），所以a2+2a2

8、=3a2lna+b，即b=a2-3a2lna。构造函数，h（x）=x2-3x2lnx（x>0），解方程h（x）=0，（x>0）得x=e，容易判断e为函数的极大值（也是最大值）点，所以h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（e）=e。（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x）=x2+2a-3a2ln-b，（x>0），则F′（x）=，（x>0），求得F（x）的最小值为F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0，故当x>0时，f（x）≥g（x）。例5：若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，则实数a等于（）。A.-1或-B.-1或C.-或D.-或7解

9、析：设过（1，0）的直线与y=x3相切于点（x0，y0），则曲线y=x3在点（x0，x30）的切线方程为y=x30=3y=x02（x-x0）即y=3x02x-2x03，又（1，0）在该切线上，代入解得x0=0或x0=。第4页共4页当x0=0时，由y=0与y=ax2+x+9相切，得=0，解得a=-；当x0=时，由y=x-与y=ax2+x-9相切，得=0，解得a=-1.故实数a的值为-1或-，选A.四类切线问题的解题步骤：（1）设出（或已知）切点坐标；（2）求导数得曲线在切点的切线斜率；（3）写出切线方程；（4）代入其它条件。第4页共4页