复合函数知识总结及例题

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1、-.复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，假设AB，那么y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用围为D，又f对作用，作用围不变，所以，解得，E为的定义域。例1.设函数的定义域为〔0，1〕，那么函数的定义域为_____________。解析：函数的定义域为〔0，1〕即，所以的作用围为〔0，1〕又f对lnx作用，作用围不变，所以解得，故函数的定义域为〔1，e〕例2.假设函数，那么函数的定义域为______________。解析

2、：先求f的作用围，由，知即f的作用围为，又f对f(x)作用所以，即中x应满足即，解得故函数的定义域为〔2〕、的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用围为E，又f对x作用，作用围不变，所以为的定义域。例3.的定义域为，那么函数的定义域为_________。解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用围为，又f对x作用，作用围不变，所以.word.zl.-.即函数的定义域为例4.，那么函数的定义域为-------解析：先求f的作用围，由，知解得，f的作用围为，又f对x作用，作用围不变，所以，即的定义域为〔3〕、的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作

3、用围为E，又f对作用，作用围不变，所以，解得，F为的定义域。例5.假设函数的定义域为，那么的定义域为____________。解析：的定义域为，即，由此得的作用围为，又f对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量x的取值围〔用集合或区间表示〕f对谁作用，那么谁的围是f的作用围，f的作用对象可以变，但f的作用围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫〞的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题〔1〕引理证明函数.假设在区间〕上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间〕上是增函数.证明：在区间〕任取两个数，使因为在

4、区间〕上是减函数，所以,记,即.word.zl.-.因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，故函数在区间〕上是增函数.〔2〕．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减〞或“同增异减〞.〔3〕、复合函数的单调性判断步骤：ⅰ  确定函数的定义域；ⅱ  将复合函数分解成两个简单函数：与。ⅲ  分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ  假设两个函数在对应的区间上的单调性一样〔即都是增函数，或都是减函数〕，那么复合后的函数为增函数； 假设两个函数在对应的区

5、间上的单调性相异〔即一个是增函数，而另一个是减函数〕，那么复合后的函数为减函数。〔4〕例题演练例1、求函数的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域单调减区间是设那么=.word.zl.-.∵∴∴>又底数∴即∴在上是减函数同理可证：在上是增函数［例］2、讨论函数的单调性.［解］由得函数的定义域为那么当时，假设，∵为增函数，∴为增函数.假设，∵为减函数.∴为减函数。当时，假设，那么为减函数，假设，那么为增函数.例3、.y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值围.解：∵a＞0且a≠1当a＞1时，函数t=2->0是减函数由y=(2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，∴a

6、＞1由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2当00是增函数由y=(2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，∴0

7、数函数与对数函数互为反函数；〔二〕主要方法：1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3．比拟几个数的大小的常用方法有：①以和为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．〔三〕例题分析：.word.zl.-.例1．〔1〕假设，那么，，从小到大依次为；〔2〕假设，且，，都是正数，那么，，从小到大依次为；〔3〕设，且〔，〕，那么与的大小关系是〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕解：〔1〕由