解析函数的孤立奇点

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1、精品资料欢迎下载第五章教学课题：其次节解析函数的孤立奇点教学目的：1、把握孤立奇点的三种类型；2、懂得孤立奇点的三种类型的判定定理；3、归纳奇点的全部情形；4、充分懂得关于本性奇点的两大定理；教学重点：孤立奇点的三种类型教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理教学方法：启示式、争论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：孤立奇点是解析函数中最简洁最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，争论解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质；教学过程：1、解析函数的孤立奇点：设函数f〔z〕在去掉圆心的圆盘D:0

2、zz0

3、R〔0R

4、〕内确定并且解析，n那么我们称z0为f〔z〕的孤立奇点；在D内，f〔z〕有洛朗展式f〔z〕nn〔zz0〕,其中1n2iC〔f〔〕00z〕n1d,〔n0,1,2,...〕C是圆

5、zz0

6、〔0R〕；nn〔z0z〕n,为f〔z〕的正就部分，n〔zn1z0〕n,为f〔z〕的主要部分；例如，0是sinz,sin1z,ez的孤立奇点；zz2一般地，对于上述函数f〔z〕，根据它的洛朗展式含负数幂的情形（主要部分的情形），可以把孤立奇点分类如下：精品资料欢迎下载2、可去奇点假如当时n=-1,-2,-3,，n0，那么我

7、们说z0是f〔z〕的可去奇点，或者说f〔z〕在z0有可去奇点；这是由于令f〔z0〕0，就得到在整个圆盘

8、zz0

9、R内的解析函数f〔z〕；sinzsinz1例如，0分别是,2,ez的可去奇点、单极点及本性奇点；zz定理5.3函数f〔z〕在D:0

10、zz0

11、R〔0R〕内解析，那么z0是f〔z〕的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，limf〔z〕0，其中0是一个复数；zz0证明：（必要性）；由假设，在0

12、zz0

13、R内，f〔z〕有洛朗级数展式：f〔z〕01〔zz0〕...n〔zz〕n...0由于上式

14、右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在

15、zz0

16、R内解析，于是明显存在着limf〔z〕0；zz0（充分性）；设在0

17、zz0

18、R内，f〔z〕的洛朗级数展式是f〔z〕nn〔zz〕n,0由假设，存在着两个正数M及0〔R〕，使得在0

19、zz0

20、0内，

21、f〔z〕

22、M,那么取，使得00，我们有

23、n

24、1M22n1M〔n0,1,2,...〕n当n=-1,-2,-3,时，在上式中令趋近于0，就得到n0〔n1,2,3,...〕；于是z0是f〔z〕的可去奇点；推论5.3设函数f〔z〕在D:0

25、zz0

26、R〔0

27、R〕内解析，那么z0是f〔z〕的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数0〔R〕，使得f〔z〕在0

28、zz0

29、0内有界；精品资料欢迎下载3.席瓦尔兹〔Schwarz〕引理假如函数f〔z〕在单位圆z1内解析，并且满意条件f〔0〕0,f〔z〕1,〔z1)就在单位圆z1内恒有f〔z〕z且有f〔0〕1假如上述等式成立或在圆z1内一点z00出前一式等号成立就当且仅当f〔z〕eiz,〔z1〕4.极点下面争论极点的特点；假如只有有限个（至少一个）整数n，使得n0，那么我们说z0是f〔z〕的极点；设对于正整

30、数m，m0，而当n<-m时，n0，那么我们z0是f〔z〕的m阶极点；根据m=1或m>1，我们也称z0是f〔z〕的单极点或m重极点；设函数f〔z〕在0

31、zz0

32、R内解析，z0是f〔z〕的m〔1〕阶极点，那么在0

33、zz0

34、R内，f〔z〕有洛朗展式：f〔z〕mm〔zz0〕m1m1〔zz0〕...1zz001〔zz0〕...n〔zz〕n...0在这里m0；于是在0

35、zz0

36、R内f〔z〕mnm〔zz0〕m1m1〔zz0〕...1zz001〔zz0〕...n〔zz0〕...在这里〔z〕是一

37、个在

38、zz0

39、R内解析的函数，并且〔z0〕0；反之，假如函数f〔z〕在0

40、zz0

41、R内可以表示成为上面的外形，而〔z〕是一个在

42、zz0

43、R内解析的函数，并且〔z0〕0，那么可以推出z0是f〔z〕的m阶极点；定理5.4设函数f〔z〕在D:0

44、zz0

45、R〔0R〕内解析，那么z0是f〔z〕的极点的精品资料欢迎下载必要与充分条件是：limf〔z〕；zz0证明：必要性是明显的，我们只证明充分性；在定理的假设下，存在着某个正数0〔R〕，使得在0

46、zz0

47、0内，f〔z〕0，于是F〔z〕1在0

48、zf

49、〔z〕z0

50、0内解析，不等于零，而且limF〔z〕lim10；因此z是F〔z〕的一个可去奇点，zz0zz00f〔z〕0从而在0

51、zz0

52、0内，有洛朗级数展式：F〔z〕01〔zz0〕...n〔zz〕n..