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1、学习必备欢迎下载第4节反三角函数（2课时）第1课时[教材分析]：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。[课题引入]：在辅助角公式中，我们知道22abasinxbcosxabsinx，其中cos,sin，这2222abab样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。[教学过程]：师：首先我们回顾一下，什么样的函数才
2、有反函数？答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。师：我们知道正弦函数ysinx在定义域R上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：ysinx,x,，这个函数是单调函数，因而有反函数。22师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x,y）（这里我们使用符号arcsin表示反解）反解得xarcsiny，互换得yarcsinx，其中x1,1,y,，这就是要求的反正弦函数。221．反正弦函数的图象反正弦函数yarcsinx，x1,1与
3、函数ysinx,x,互为反函数，因此两22个函数图象关于直线yx对称。2．反正弦函数的性质（由函数图象可得）①定义域为1，1，值域为,；22②yarcsinx在定义域1，1上单调递增；③yarcsinx是奇函数，即对任意x1,1，有arcsinxarcsinx3．反正弦函数的恒等式①由“一一对应”的性质知：对任意值x1,1，在,上都有唯一对应的角22精品学习资料可选择pdf第1页，共4页-----------------------学习必备欢迎下载arcsinx，使得它的正弦值为x，即得恒等式sinarcsinxx,x1,1；②由“一一对应”的性质知：对任意角
4、x,，在1，1上都有唯一对应的值sinx，22使得它的反正弦值为x，即得恒等式arcsinsinxx,x,。22例题选编：[例1]：求下列反三角函数值：31（1）arcsin；（2）arcsin0（3）arcsin22解：利用恒等式1来理解题意（1）：333记arcsinxsinarcsinsinxsinx，也就是在,上找222223一个角x，使得sinx；（2）（3）类似。2说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材P98的思路有点
5、类似于本文的处理方式。[例2]：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x：3（1）sinx,x,，5221（2）sinx,x,，4223（3）sinx,x,03解：利用恒等式2来理解题意：333（1）sinxarcsinsinxarcsin，而x,，故有xarcsin；5522533（3）sinxarcsinsinxarcsin，而x,，故不能直接利用恒3322等式2，需要利用诱导公式，将角度转化到,上，此时涉及讨论：22精品学习资料可选择pdf第2页，共4页-----------------------学习必备欢迎下载33若x,0，则arcsinsinxarc
6、sinxarcsin233若x,，则x,0，故有22333arcsinsinxarcsinarcsinsinxarcsinxarcsin3333即xarcsin。3[例3]：化简下列各式：5（1）arcsinsin（2）arcsinsin（3）arcsinsin.34996解：此题直接利用恒等式2，当区间不满足要求时，需要利用诱导公式转化区间。（1），，由恒等式2得arcsinsin；9229955（2）arcsinsinarcsinsin，这里将转化了；6666（3）arcsinsin.349arcsinsin3.049arcsinsin.049arcsin
7、sin.049.049。[例4]：判断下列各式是否成立：33（1）arcsin；（2）arcsin；（3）arcsin12k,kZ23322（4）arcsinarcsin；（5）sinarcsin223322（6）sinarcsin1010解：（1）对；（2）错；（3）当k0时对；（4）错，1,1；（5）错；（6）对。3[例5]：写出下列函数的定义域和值域：2（1）y2arcsinx；（2）yarcsinxx解：（1）x1,1x1,0，由反正弦函数的单调性知y,0精品学习资料可选择pdf第3页，共4页-----------------------学习必备欢迎下
8、载21515（2）xx1,1x,，22
