余数问题(教师版)

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1、------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx余数问题(教师版)【精品文档】余数问题知识精讲一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:这是一堆书，共有a本

2、，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。二、三大余数定理：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或

3、者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。用式子表示为：如果有a≡b(modm)

4、，那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m

5、(a－b)经典例题【例1】用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和．【精品文档】【精品文档】【解析】因为是的倍还多,得到，得，所以，．【例2】甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲乙，所以甲乙乙乙乙；【解析】则乙，甲乙．【解析】(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数．【例3】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问

6、题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.【例4】有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968。【例

7、5】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】由，知，一组是10或11人．同理可知，知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【例6】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于，并且小于；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为．【例7】有一个大于1的整数，除所

8、得的余数相同，求这个数.【解析】【精品文档】【精品文档】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，的约数有，所以这个数可能为。【例8】与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2，，，，，，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为