常微分方程求解的高阶方法论文

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1、常微分方程求解的高阶方法毕业论文目录第一章前言11.1案例引入微分方程概念11.2微分方程的基本概念11.2.1微分方程及微分方程的阶11.2.2微分方程的解、通解与特解11.2.3微分方程的初值条件及其提法21.2.4微分方程的解的几何意义.21.3从解析方法到数值方法概述31.4常温分方程的离散化4第二章数值解法公共程序模块分析5第三章欧拉（Euler）方法73.1Euler方法思想73.2Euler方法的误差估计83.3改进的Euler方法83.3.1梯形公式83.3.2改进Euler法9第四章休恩方法104.1休恩方法思想104.2

2、休恩方法的步长和误差10第五章泰勒级数法115.1泰勒定理115.2N次泰勒方法12第六章龙格-库塔（Runge—Kutta法）136.1龙格-库塔（Runge—Kutta）方法基本思想136.2阶龙格-库塔（Runge—Kutta）方法公式14第七章预报-校正方法157.1Milne-Simpon方法167.2误差估计于校正167.3正确的步长1727第八章一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法178.1一阶微分方程组的数值解法178.2高阶微分方程的数值解法18第九章常微分方程模型数值解法在数学建模中的应用199.1耐用消费新产品的销售

3、规律模型199.1.1问题的提出199.1.2模型的构建199.1.3模型的求解209.2司机饮酒驾车防避模型的数值解法219.2.1模型假设229.2.2模型建立229.2.3模型求解249.2.4模型评价259.2.5诚恳建议259.2.6模型推广26主要参考文献26致谢2727第一章前言1.1案例引入微分方程概念在科技、工程、经济管理、生态、生态、刑侦等各个领域微分方程有着广泛的应用。我们看一实例。案例：一次谋杀案，在某天下午四点发现尸体，尸体的体温为30℃，假设当时屋内空间的温度保护20℃不变，现判断谋杀是何时发生的？解决此问题首先

4、必须要从尸体温度的变化寻求关系式，这就需要知道物理学中的加热与冷却规律。物理学家牛顿（Newton）曾提出，一块热的物体，其温度下降的速度是与它自身温度的差值成正比。同样，一块冷的物体，其温度上升的速度是与他自身温度同外界温度的差值成正比。据此我们可找到温度与时间之间的函数关系式，这事实上就是一个微分方程的建立问题。再如传染病传染问题（人口增长模型问题）也要用到微分方程的知识。通过求解微分方程，可以得到所需求的函数。1.2微分方程的基本概念1.2.1微分方程及微分方程的阶含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分

5、方程，称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方；(1.1)和(1.5)式均是微分方程.微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.微分方程(1.1)是一阶的，微分方程(1.2)是二阶的.1.2.2微分方程的解、通解与特解能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.例如和都是的解.27又如和都是的解.如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.1.2.3微分方程的初值条件及其提法用以确定微分方程

6、解中任意常数的特定条件，称为微分方程的初值条件.初值条件的提法：当x=x0时，y=y0，1.2.4微分方程的解的几何意义.微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的积分曲线族.微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满足给定初值条件的某一特定的积分曲线.27所以函数是所给微分方程(1.3)的解.又因为这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数的个数与微分方程(1.3)的阶数相同，所以它是该方程的通解.1.3从解析方法到数值方法概述求解常微分方程的解析方法很多，像变量分离法，积分因子法，遗憾的是实际上得到

7、的大部分常微分方程都不能使用这些理论上的方法。数值求解微分方程的方法基于有限维近似，这个过程称为离散化，我们将用代数方程代替微分方程，用代数方程的解近似微分方程的解，对初值问题来说，近似解的值是在求解区间上一步步地产生的，因此求解常微分方程的数值方法也称为离散变量法，在由一个离散点的值计算下一个点的值时，一般会产生一定的误差，这样新的近似解将落在常微分方程的另一个解上，而这个解与开始所求的解是不同的，解的稳定性决定了这类误差将随时间的增大而放大或缩小。271.4常温分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是在下面的讨论

8、我们总假定函数f(x,y)连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L，使得这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。所谓数值解法，就是求问