辅助圆来帮忙

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1、辅助圆来帮忙张圣官圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。例1.求直线『的方程，使点A(1,1),B(5,3)至V的距离都等于1。解：如图1,分别以A、B为圆心，作半径为1的辅助圆，于是原问题就转化为求两圆的外公切线与内公切线方程。图1因为〃一^,所以1,y--工+8可设外公切线方程为即.I『叽1由A(1,1)到切线的距离为1,得：斥可£>=—±——所以因为AB的中点为(3,2),所以可设内公切线方程为y-2=力即以7一3上+2=0由A(1,1)到

2、切线的距离为1,得扬十，所以上=0或3_1^1,75y=-X+一士故所求直线『的方程为222或「2或4工-3尸一公。例2.如图2,在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A(0,a),B(0,b)(鼻＞3＞。)，试在x轴正半轴上求一点C,使/ACB®得最大值。解：设C是x轴正半轴上一点，在^ABC中，由正弦定理，有…a〃一方sinACB=2R其中R是△ABC勺外接圆的半径。可见，当R取得最小值时，/ACB®得最大值。在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。由切割线定理，得:OC2=OAOB=ab所以即点C的

3、坐标为（疯’口）时，/AC映得最大值。2一用4互交叱兰2+0例3.已知人三尺，求证：2+j2cos624-75sinI—=证明：设2+/g6,则母cose-TIsm日+2-2=02z-2齐可+卜岗所以，点尸3"4'1ng是直线瓜一内+2-2=0与圆/+介=1的公共点由直线和圆有公共点的充要条件，得：解得：'''；2一、月£纪软小工2+6即1.,■111例4.实数x,y满足4/7寸+4-5,设则鼠址」的值是分析：把/+/=£变形为不十,二㈤,利用圆的参数方程求解。解：设一.•:…「二根据题意可得：「.・..，，-1S二————,-l^sin28<即8-551rl2日因此1

4、3113138■+.=+-^―,=-即.k10105例5.设双曲线孙=1的两支分别为弓（如图3）,正三角形PQR勺三顶点位于此双曲线上。若凡fT）在4上,QR在G上，求顶点QR的坐标图3分析：正三角形PQRK有''''-则以耳―L一”为圆心，归用为半径的圆与双曲线交于RQ两点根据两曲线方程可求出交点QR坐标。解：设以P为圆心，旧立卜〃"二°）为半径的圆的方程为由卜二1得：+1x4-1=01t-x+-（其中，可令K进行换元解之）设QR两点的坐标分别为舟当卜的凶）

5、'黯+[1-+1卜+1=0代入方程即--3-4x+1=0<由方程组[胡二1，得：为=2-^3=2+43<<所以，所求QR的坐标分别为（2-A2+向，（2+黄，2-例