一维热传导方程

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1、精心整理一维热传导方程一．问题介绍考虑一维热传导方程：（1）其中a是正常数，是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类：第一类、初值问题（也称Cauthy问题）：求具有所需次数偏微商的函数，满足方程（1）（）和初始条件：（2）第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数，满足方程（1）（）和初始条件：（3）及边值条件(4)假定在相应区域光滑，并且在满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。二．区域剖分考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长和时间步长，

2、其中N,M都是正整数。用两族平行直线：将矩形域分割成矩形网格，网格节点为。以表示网格内点集合，即位于开矩形G的网点集合；表示所有位于闭矩形的网点集合；=--是网格界点集合。三．离散格式第k+1层值通过第k层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。第k+1层值不能通过第k层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。精心整理1.向前差分格式（5），，，其中j=1,2,…，N-1，k=1,2,…,M-1。以表示网比。则方程（5）可以改写为：易知向前差分格式是显格式。2.向后差

3、分格式（6），，其中j=1,2,…，N-1，k=1,2,…,M-1，易知向前差分格式是显格式。3.六点对称格式（Grank-Nicolson格式）将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得到六点对称格式：（7）=利用和边值便可逐层求到。六点对称格式是隐格式，由第k层计算第k+1层时需解线性代数方程组（因系数矩阵严格对角占优，方程组可唯一求解）。将其截断误差于（=）展开，则得=。4.Richardson格式（8），或（9）。这是三层显示差分格式。截断误差阶为。为了使计算能够逐层进行，除初值精心整理外，还要用到，

4、这可以用前述二层差分格式计算（为保证精度，可将[0,]分成若干等份）。一．格式稳定性通过误差估计方程（1）可知对任意的r，Richardson格式都不稳定，所以Richardson格式绝对不稳定。（2）当时，向前差分格式趋于稳定；当时，向前差分格式的误差无限增长。因此向前差分格式是条件稳定。（3）向后差分格式和六点对称格式都绝对稳定，且各自的截断误差阶分别为和。二．数值例子例1令f(x)=0和a=1，可求得u（x,t）一个解析解为u(x,t)=exp(x+t)。1．用向前差分格式验证得数值结果如下：请输入n的值

5、(输入0结束程序):2请输入m的值(输入0结束程序):17xjtk真实值x[i][k]近似值u[i][k]误差err[i][k]0.3333330.0555561.4753411.4738670.0014740.6666670.0555562.0590042.0569470.0020570.3333330.1111111.5596231.5570370.0025860.6666670.1111112.1766302.1737190.0029110.3333330.1666671.6487211.6456190.

6、0031020.6666670.1666672.3009762.2973850.0035910.3333330.2222221.7429091.7393730.0035360.6666670.2222222.4324252.4284450.0039810.3333330.2777781.8424771.8386470.0038310.6666670.2777782.5713842.5670480.0043370.3333330.3333331.9477341.9436200.0041140.6666670.33

7、33332.7182822.7136510.0046300.3333330.3888892.0590042.0546320.0043720.6666670.3888892.8735712.8686440.0049270.3333330.4444442.1766302.1719920.0046380.6666670.4444443.0377323.0325120.005220精心整理0.3333330.5000002.3009762.2960680.0049080.6666670.5000003.2112713.

8、2057440.0055260.3333330.5555562.4324252.4272330.0051930.6666670.5555563.3947233.3888780.0058450.3333330.6111112.5713842.5658940.0054910.6666670.6111113.5886563.5824750.0061810.3333330.6666672.71