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1、一、填空题1.如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为r，则增广矩阵的秩为__________.⎧xx+++=Lxa12n2.非齐次线性方程组⎨⎩22x+xx++=L2b12n有解的充要条件是__________.13.齐次线性方程组xxxx1234+++=0的基础解系是____________________.4.若矩阵A中有一个r级子式不为零，则R()A__________.5.已知向量组α12=(1,4,3),αα=−=(2,,1),k3(2,3,1)−线性相关，则参数k=__________.26.齐次线性方程组⎧axax++L+=a
2、x01111221nn⎪⎪axax++L+=ax02112222nn⎨⎪LLLLLLLLLLL（）⎪axax++L+=ax0⎩nn1122nnn只有零解的充要条件有（至少写两个）.二、判断题1.如果当kk12===Lkn时，kkα+++=ααLk0，则向量组1122nnα,,,ααL线性相关.（）12n32.如果αii==(,,,)aa12iLLain,i1,2,,s线性相关，则向量组β=(,,,,,,,)aaLLabbb,is=1,2,L,ii12iini12iim也线性相关.（）3.任意n+3个n维向量必线性相关.()44.若向量α
3、12,,,ααLs和向量组β12,,,ββLt都线性无关，则向量组α12,,,,,,,ααLLsβ12ββt线性无关.（）5.若向量α12,,,ααLs线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性表出.（）56.非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解.（）7.方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.（）68.设α12,α线性相关，β12,β也线性相关，则α++βαβ,线性相关.（）1122三、计算与证明1.求向量组α==(1,0,1,0),ααα(2,1,3,7),−−=(3,1,0,3),−=(4,3,1,3)−−1234
4、的秩和一个极大线性无关组.72．λ取何值时，线性方程组⎧λλxxx++=−3123⎪⎨xxx++=λ−2123⎪⎩xxx++=−λ2123有唯一解、无解、或无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.3.已知向量组α12,,,ααLm线性无关，令β=+ααβααβααβαα,,=+L,=+,=+，112223mmm−−11mm1讨论向量组β12,,,ββLm的线性相关性.84.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η123,,ηη是它的三个解向量，且η=+(2,3,4,5),ηη=(1,2,3,4).求该方程组得通解.1235.设向量α
5、12,,,ααLn线性无关，且β=+++ααLα(1n>)，证明：β−αβα,,−−Lβα12n12n也线性无关.910
