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1、笋卜标准分析数学教研室于铭钦,“”为了提高工科高等院校高等数学教学本文在继承无穷小观点的基础上讨论积分学《一元函数,,积分与多元函数的重积分由于笔者水平有限谬误之处敬请同志们批评指正。无穷小这个古典概念由微积分创始人之一让提出并运用它研究了微积分本文,为节省篇幅直接采用哈尔滨工业大学王泽汉教授的记号和论述,。,,无穷小正型记为它表示大于并小于所有的正数同样无穷小负,,,,,,型记为它表示小于并大于所有的负数无穷小中性记为,,它表示可以是正型无穷小也可以是负型无穷小或者说其绝对值大于但又小于所有的。,。,正数我们把每一个无穷小看作一个新数这种新数不重合于称它无
2、穷地接近于。,,。,。,。用非标准分析的术语称为为非标准零而称为标准零所有的及凝聚在一,。起构成一个大点这大点与。在实数轴上占同一位置,。,,同样若笋为标准数即异于的实数称为非标准数大点尹与。在实数轴上占同一位置,、、、、十即可参加我们进一步规定和尹可以进行实数的运算减乘除开方运算、,。,及指数运算三角函数运算反三角函数运算等超越运算规定艺尹。分分一一元函数积分定积分,二在直角坐标系一中令,若、,,、。,、,、,,,、、,,、,,、,,,了,,,二二。,一,一一研一’究定’积’分艺以一‘为’曲边’的曲边’梯’口一形’‘雨积‘’一一一一一一一”,。看图一是很容
3、易理解的事。,‘实上、、丁气,‘△艺艺△,卜二△、,△川代表流动增量,,即,如以△代表区间〕的划分之长所有的划分之长趋于。霉,,,靠定积分定义去计算积分结果一般说来显然不是一件容易的事甚至是不可能做到‘,。,。的事只要被积函数稍为复杂一点要计算出来须牛顿一莱布尼兹公式学生按标准,,分析学习该公式时需要一组定理相继屺合才能理解仪管这些定理无论教师的讲解或学生,,一环扣一环的学习都不算是分沂中的难点但完成这一组定理后学生特别是工科院校的,学生一般多停留在运川牛顿一莱布尼兹公式来算算题的水平上对牛顿一莱布尼兹公式为。什么是微积分学的丛本公式是理解不深不透的,“必”
4、换句话说定积分与不定积分原函数族的然关系对学完微积分后的学生而言“”。并不那么直接和必然图一一义,犷⋯⋯、引一图二图中,应为一戈任戈,以作为大,看图二点与之对应到曲线上是直角三角形△与,。,,二△匕为直角△△函数增量从微分理论知道,“△。其中表示比高阶的无穷小一,当时即时式可写成△二一‘〔二二。,,图二尹若不计高阶无穷小在似分理沦中式丁△当且仅当分,,,我们称么为增甩三角形称△为微分三角形在式的前提下这两个,,,二。。三角形相等即气与重合这就是曲线灼无穷小听线白均诀础我们以下用无穷小增量△代替无穷小微分一·,·‘‘‘·公‘,套一丁誓丁皇一△一从图二总结加△的
5、规律一、‘二,。,其中即是被积函数的一个原函数式一人」刃六十等才,为牛顿一莱布尼兹公式即丁‘·,,‘,,飞‘·’,十。,、,将曲线上下平移即在点也等同平移函数在、,,两点之差是不变的但是的不定积分原函数族可见、。,的任一个原函数在定积分上下限点作差都不变从式连等中不难理解牛顿一。。莱布尼兹公式为什么是微积分学的基本公式以上便是所谓的图析法二二重积分,“”,讲解较复杂理论时如能用浅显的知识把它逐步分理出来注意理论的可行性,,。容易接受也容易牢记这就是深入浅出的讲解、,若定义在上汀川︸、、二、不艺盆工今”口‘了、一△自变量增量自变量微分,令‘,,,,,即都是非标
6、且不一定是相等非标零一般来说不相等为同阶无,。二,,穷小即井。的实数非标点与标准点在实平一’‘‘’’典、矛一,产。,’、’’、’产’刀一一一六尸瓜盛“‘“勺’匹品几协办,,,面中占同一位置从上面知道分别与其标点在轴轴中占,,同一位置在直角坐标系中无穷小矩形构成一个坐标平面上的大点与、。、卜甲占同一位置、声导茵跳欢粼本矛蒸蒸粼目丈少一尸尹气氏娇口尸、人川‘了曰图三将理解为在中所有大点的无穷小值即与其在标准点、的函数、。,,值的乘积之和求和有两种第一种是乱加只要加完为止不要有遗如图三,。中技大点去乱加显然由于大点的值趋于零任何人乱加是加不完的第二种是按一,,、,
7、定的方式去加如在图中先加平行于轴的一条带斜线这条因通过流动点’,。,称为流动的即它刁以代表所有平行于轴的条在这条中有无穷多个矩形大点组成先把,、这条中无穷多个大点的值与其对应标准点的函数值相乘加起来就好办了引导学生观察分,即,,析这条中矩形大点的特征条中矩形大点都有等于的一边对加法而言可以提出公。“、”。因子小学早已学过的加乘规律等式左边当然是先乘后,。加即先乘除后加减等式右边反映的是有公因子可以提出来回到我们讨论的问题上“一‘’“。、·”分加名杏加艺杏乘乘杏、’己,是非标零名,,,,否则要加到别的条中可以,所论条中去加,是不能动、不变少口的注意要保证真正在
8、所论条中去加是小能利小义,,这条积完后再令流功,意这
