初等函数连续性

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1、§3初等函数连续性(一)教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性．(二)教学内容：指数函数的定义；初等函数的连续性．基本要求：(1)掌握初等函数的连续性．(2)掌握指数函数的严格定义．(三)教学建议：(1)本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．(2)本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．从前面两节知道基本初等函数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有理指数幂函数，都是定义域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内的连续性，以及初等函数在其定义域内的连

2、续性。一指数函数的连续性在第一章中，我们已定义了实指数的乘哥，并证明了指数函数y=ax(00者B有了定义:ax=sup{arr为有理数}r:x卜面的定理就自然要问：对于指数为一般实数的情况，

3、运算性质（1）是否还成立呢?回答了这个问题。定理4.10设a>0,口，P为任意实数，则有aB-a"aa—a（a）—a证明定理之前先回顾一下，第一章讲过的几个结论：1）ax,a>1时是严格递增的；ax,a<1是严格递减的。2）确界的定义：a=supA：i）Vx=A,xa-®（是最小上界）定理的证明不妨设a>1,先证aaaP0,：3r

4、P,使得a0—6

5、prsrs：(a--)0)在r上是连续的.证明先设a>1.有第三章§2例4知limax=1=a0,x0这表明ax在x=0连续.现任取x0亡R.由定理4.10得x_cx0(xR_cx0cX玉a-a-aa.令t=x-Xo,则当XTXo时有tT0,从而有xXo（x-Xo）xotXolima=limaa=alima=a.XjXoXjXot,。这证明了ax在任一点xo处连续..一...1X1X」当o

6、=bab可看作函数与u=-x的复合，所以此时ax亦在R上连续。口利用指数函数ax的连续性，以及第三章§5例4中已证明的(a>1)，可知ax的值域为（o,+w）（ox)证明补充定义u(xo)=a,v(x0)=b,则u(x),v(x)在点xo连续，从而知v(x)ln(u(x))在x0连续，所以u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)在x

7、0连续.由此得limu(x)v(x)=limev(x)lnu(x)=eblna=ab.x—xoxjxo二初等函数的连续性由于哥函数xa(口为实数)可表为xa=eanx,它是函数eu与u=口lnx的复合，故有指数函数与对数函数的连续性以及复合函数的连续性，推得哥函数y=xa在其定义域(0,8)上连续。前面已经指出，常函数，三角函数，反三角函数都是定义域上的连续函数.因此我们有下述定定理4.12一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数^由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到所以有定理4.13任

8、何初等函数都是定义域上的连续性函数ln(1x)例1求lim-x~0x解limln(1+x)=limln(1+x)1/x利用对数函数的连续性,x—0xx0limln(1x)1/x=Inlim(1x)1/x=Ine=1求limx]0ln(1x2)cosx2解由于x=0是初等函数ln(1.x)定义域内的点,利用初等函数连续性,cosxl