小学奥数几何五大模型

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小学奥数几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1所示，SSBDCD::；△ABDACD△3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比，如图2所示，SSAEBF::；△ACDBCD△4、在一组平行线之间的等积变形，如图3所示，SS；反之，如果SS，则直线ABCD∥。△ACDBCD△△ACDBCD△ABABABDCCEFDCD图1图2图3例、如图，△ABC的面积是24，DEF、、分别是BCACAD、、的中点，求△DEF的面积。AFEBDC11解析：根据等积变换知，SS2412,△ADC△ABC221111SS126，SS63。△ADE△ADC△DEF△ADE2222

1（2）鸟头模型（共角定理）1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补）两夹边的乘积之比。如下图△ABC中，DE、分别是ABAC、上或ABAC、延长线上的点。ADEADEBCBCSADAE△ADE则有：。SABAC△ABC我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！DAEBC证明：如图，连接BE，根据等积变换模型知，SSADAB::、SSAECE::，△ADEABE△△ABECBE△所以S△SSABESSABC:AEAC::ABE△ABECBE△△△。SSSADAEADAE△ADEADEABE△△因此。SSSABACABAC△ABCABEABC△△例、如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且ABAD:5:2，AEEC:3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求△ABC的面积。DAEBC

2SABAC△ABC解析：根据鸟头模型可知：，SADAE△ADEABAC55所以SS1250（平方厘米）。△ABC△ADEADAE23（3）蝴蝶模型1、梯形中的比例关系(“梯形蝴蝶定理”):AaDS1S2S4OS3BbC①SS（因为SS，所以SSSS），24△ABC△DBC△ABC△OBC△DBC△OBC22SS::ab；1322②SS::::SS::ababab；12342③梯形S的对应份数为ab。例、如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，对角线ACBD、交于点O，已知△AOB、BOC△的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。AD2535OBC2解析：由梯形蝴蝶模型的性质知，S:SAB:ABCD25:35，△AOB△BOC2222所以ABCD:5:7；所以S:SABCD:5:725:49，△AOB△DOC即S49平方厘米，而SS35平方厘米，△DOC△AOD△BOC所以梯形ABCD的面积为：25+35+35+49=144平方厘米。

32、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：DAS1S4S2OS3BC①SS::SS或者SSSS；12431324AOSSBOSS1223②，。COSSDOSS3414例、如图，四边形ABCD的对角线ACBD、交于点O，如果△ABD的面积等于1△BCD面积的，且AO2，DO3，求CO的长度是DO长度的几倍。3DAOBC解析：由任意四边形蝴蝶定理的性质知，AOCO::1:3SS，所以△ABDBCD△COAO3326，所以CODO:6:32:1，即CO是DO的2倍。蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DEBC∥。(一)金字塔模型(二)沙漏模型AEDADEBCBC结论：因为DEBC∥，所以△ADE∽ABC△，则ADAEDE22①；②S△SADADEABCAB::△。ABACBC例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB16、AD10、BE4，那么FC的长度是多少？DCFABE解析：根据平行四边形的性质知，ABCD∥，所以由沙漏模型知：44FCFBCDBE::16:44:1，所以FCBC108。415（5）燕尾模型AEFOBDC由于两种颜色阴影部分的形状合在一起像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：①S::SBDDC；△ABO△ACO②S::SAEEC；△ABO△BCO

5③SSAFFB::。△ACOBCO△例、如图，DE、分别在BCAC、上，且AEEC:2:3，BDDC:1:2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。AAE1.6EF2F2.412BDCBDC解析：如图所示，连接CF构造燕尾模型。根据燕尾模型性质可知：S△ABFBD1S△ABFAE2，。S△DCACF2S△ECCBF32现设S△BDF1份，则S△CDF2份、S△ACF4份、S△AEF41.6份、233S42.4份。△CEF23所以S四边形DFEC22.44.4份、S△ABC2349份。S224.4945（平方厘米）。△ABC二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例1、图中的EFG、、分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？ADAD61G5G2EE34BFCBFC

6解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边ABBCCD、、就被分成了相等的三段。把点H和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。根据等积变换模型可知，CD边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。例2、如图所示，QEPM、、、分别为直角梯形ABCD两边ABCD、上的点，且DQCPME、、彼此平行，已知AD5、BC7、AE5、EB3，求阴影部分三角形PQM的面积。ADADQQMMEEBCBCPP解析：如图所示，连接CEDE、，由于DQME、平行，根据同底等高知，SS；△QMEDME△同理根据BCME、平行，有SS△PMECME△；所以SS△PQMCDE△。由于四边形ABCD为直角梯形，111所以SSSS5753553725，△CDE梯形ABCD△ADE△BCE222即阴影三角形PQM的面积为25。（2）鸟头（共角）定理模型例1、如图所示，平行四边形ABCD，BEAB、CF2CB、GDDC3、HAAD4，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。

7HHABABEEGCGCDDFF解析：如图所示，连接ACBD、，由于在△ABC、EBF△中，∠ABC与∠EBFSABBC111△ABC互补，根据鸟头定理有；SBEBF133△EBF1因为SS△ABC平行四边形ABCD1，所以S△EBF3；2同理可得：S428、S428、S5315。△AEH△GCF△DHGS平行四边形ABCD221所以。S8815323618四边形EBF例2、如图所示，△ABC的面积为1，BC54BDAC、ECDGGS、SE、AFFG，求△FGS的面积。AFEGSBDC解析：首先根据等积变换模型知，SSSS、，△FGSFESEAF△EGF△△所以SS4。△AGE△FGSSAEGE32△AGE根据鸟头模型有2，所以SS△CDEFGS2△；SCEDE13△CDESAGDG21△AGD2，所以SS△AGD2△FGS；所以SS△ACD8△FGS；SFGSG11△FGS

8SADBD111△ADBSSSS，所以△ADBFGS2△；所以△ABCFGS10△，SADDC144△ACD1即S。△FGS10（3）蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？AB21O422412DC解析：如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六边形被平分成两半。设S的面积为1份，根据正六边形的特殊性质知，BC2AD，再根据梯形蝴△AOB蝶定理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了18份，阴影部84分占其中的8份，即阴影部分面积为1。189例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。AEFBAEFB225？5？OO88DCDC解析：如图所示，连接DECF、。在梯形EDCF中，根据梯形蝴蝶定理知，SS，SSSS2816，△EOD△FOC△EOD△FOC△EOF△DOC即SS△EODFOC△4，所以S△ECD8412，S长方形ABCD12224，S245289。四边形OFBC

9例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。AEDAEDOFFGGBCBC解析：设BD与CE的交点为O，连接BEDF、。在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶11定理知，EOCO::SS△BEDBCD△，而S△SSBEDSBCD正方形ABCD、ABCD△正方形，42所以EOCO:1:2。又因为F为CE的中点，所以EOFO:2:1。在四边形BFDE中，由蝴蝶定理知，EOFO:S:S2:1，△BED△BFD11所以SSS。△BFDBED△正方形ABCD48111所以SSS10106.25（平方厘米）。△BDG△BFD正方形ABCD21616（4）相似模型1例1、如图，正方形的面积为1，EF、分别为ABBD、的中点，GCFC,求3阴影部分的面积。ADADFFEEGGBCBHIC解析：如图所示，作FH垂直BC于点H，GI垂直BC于点I，根据金字塔模型知，CICH::1:3CGCF；因为F是BD的中点，所以CHBH，1155CICB:1:6，即BIBC:61:65:6，所以S。△BEG22624

10例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BDBE、分别交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于O点，已知AH5,HF3,求AG的长。AEDGOHFBC解析：根据长方形的性质知，ABDF∥，再根据沙漏模型知ABDF::5:3AHHF，3又因为E为AD的中点，所以OEFD:1:2，所以ABOE:5:10:3。2利用相似三角形性质可得：AGDO::10:3ABOE，111040∵AOAF=534，∴AG4。221313（5）燕尾模型例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。ADADEEGGHHBFCBFC解析：如图，连接BH。由于BE与CD平行，根据沙漏模型知，BGGDBECD::1:2。现设S1份，根据燕尾模型知，S2份，S2份。△BHC△DHC△BHD因此整个正方形ABCD就是：（1+2+2）×2=10（份）。117四边形BGHF占：12（份）。2367所以S1201014（平方厘米）。四边形BGHF6

11例2、如图，在△ABC中，BDDA2、CEEB2、AFFC2，那么△ABC的面积是阴影△GHI面积的几倍？AADDGGFFHIHIBECBEC解析：连接AI，根据燕尾模型知，S:SFCAF:1:2，△BCI△ABISSBDDA::2:1，所以SSS::1:2:4，那么△BCIACI△△ACIBCIABI△△2222SSS。同理可知SS、SS。△BCIABCABC△△△ACG△ABC△ABH△ABC12477721所以SSS13，即△ABC的面积是阴影△GHI面积阴影△GHI△ABCABC△77的7倍。例3、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点EF、是BC的三等分点，若△ABC的面积是1，求四边形CDMF的面积。AADDMMNNBEFCBEFC解析：如图，连接CMCN、。根据燕尾模型知，SSBFCF::2:1,△ABMACM△而SS2，所以S24SS，即BMDM4。△ACM△ADM△ABM△ACM△ADMSBMBF428△BMF所以根据鸟头模型知，，SBDBC5315△BCD8814147即SS。所以SSS。△BMF△BCD四边形CDMF△BCD△BMF151521521530

12三、巩固练习1、如图，在∠MON的两边上分别有ACE、、，BDF、、六个点，并△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，求△DCF的面积。NFDBOMACE2、如下图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米，求三角形CDF的面积。DCFAEB3、如下图，在三角形ABC中，BDAD2，AGCG2，BEEFFC，求四边形DGFE的面积占三角形ABC的几分之几？ADGBEFC

134、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB、CBBF、DCCG、HDDA，求四边形ABCD的面积。HCGDBAFE5、边长为1的正方形ABCD中，BEEC2、FCDF，求三角形AGE的面积。ADGFBEC6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积为11，三角形BCH的面积为23，求四边形EGFH的面积。AFBGHDEC

147、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC120毫米，高AD80毫米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在ABAC、上，这个正方形零件的边长是多少？APNBHDGC8、如图，已知正方形的面积为120平方厘米，E是AB边的中点，F是BC边的中点，求四边形BGHF的面积。ADEGHBFC9、如图，正方形的边长是12厘米，分别是的中点，与交于点，求四边形的面积。DCFGAEB

1510、如图，在四边形中，、，四边形的面积是12，求平行四边形的面积。AFEDOBC四、巩固练习详解1、如图，在∠MON的两边上分别有ACE、、，BDF、、六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，求△DCF的面积。NFDBOMACE解析：这道题我们可以用等积变换来解，由于三角形OCD的面积是可以求出的，所以只要求出ODOF:就能求出△DCF的面积。113因为ODOF::4:1SS△OEDDEF△，所以SS△DCFOCD△3。4442、如下图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米，求三角形CDF的面积。DCDCFFAEBAEB

16解析：如图所示，连接AFCE、，因为平行四边形对边平行，所以根据同底等高知，SS、SS。同理，根据EFAC∥，所以△ADEACE△△CDFACF△SS。所以SS4平方厘米。△ACEACF△△CDFADE△3、如下图，在三角形ABC中，BDAD2，AGCG2，BEEFFC，求四边形DGFE的面积占三角形ABC的几分之几？ADGBEFCADAG122解析：根据鸟头模型的性质有：SSSS，△ADGABCABCABC△△△ABAC33921同理：SS，SS，△BDEABC△△CGFABC△992214所以SSS1。四边形DGFE△ABCABC△99994、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB、CBBF、DCCG、HDDA，求四边形ABCD的面积。HHCGCGDDBBAAFFEESCDBC111△BCD解析：如图连接BD，由鸟头模型知，即SCGCF122△FCGSS△FCGBCD2△；同理可得SS△AHEABD2△；所以S△SSFCGAHE△2四边形ABCD。连接AC同理可得，SS2S；所以SS5，△BEF△DHG四边形ABCD四边形EFGH四边形ABCD

17即S66513.2（平方米）。四边形ABCD5、边长为1的正方形ABCD中，BE2EC、FCDF，求三角形AGE的面积。ADADGGFFBECBEC解析：连接EF，∵BEEC2、FCDF，1111∴SSS，△DEF正方形ABCDABCD正方形232121∵SS，△ADE正方形ABCD211由蝴蝶定理可得：AGGF::6:1，2126613∴SSSSS6，△AGDGDFADF△△正方形ABCDABCD正方形774141322∴SSSSSS。△AGEADEAGD△△正方形ABCDABCDABCD正方形正方形214776、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积为11，三角形BCH的面积为23，求四边形EGFH的面积。AFBAFBGHGHDECDEC解析：连接EF，显然四边形ADEF和BCEF都是梯形，于是根据蝴蝶定理得：SS△EFG△ADG，SS△EFH△BCH，所以S四边形EGFH112334。

187、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC120毫米，高AD80毫米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在ABAC、上，这个正方形零件的边长是多少？APNBHDGC解析：仔细观察我们会发现，图中有五个金字塔模型，我们利用与已知边有关PNAPPHBP系的两个金字塔模型，知：、。现设正方形的边长为x毫BCABADABPNPHAPBPxx米，根据题意列方程：1，即1，解得x48，BCADABAB12080即正方形的边长为48毫米。8、如图，已知正方形的面积为120平方厘米，E是AB边的中点，F是BC边的中点，求四边形BGHF的面积。ADADEEGGHHBFCBFCM解析：由于四边形BGHF不能直接求面积，所以我们只能直接求，可以通过SSSS求得。四边形BGHF△BCEBEGCHF△△1根据沙漏模型知，EGGC:BECD:1:2，所以SS。现将△BEGBCE△3ABDF、延长交于点M，其中BMAB。由沙漏模型可得，BMDC:::1:1MFFDBFFC，而根据金字塔模型知，12EHHC:EMCD:ABAB:CD3:2，即HCCE。25

19112111而CFBC，所以SSS，SABBC30。△CHF△BCE△BCE△BCE225522117所以SSSS3014（平方厘米）。四边形BGHF△BCE△BCE△BCE3515注：本题也可以根据蝴蝶定理来做，连接EF，确定FHHD:，同样也能求解！9、如图，正方形ABCD的边长是12厘米，EF、分别是ABBC、的中点，AF与CE交于点G，求四边形AGCD的面积。DCDCFFGGAEBAEB解析：如图，连接ACBG、，设S1份。根据燕尾模型知，△AGCS:SBFCF:1:1，S:SAEBE:1:1，即S1份，△AGB△AGC△AGC△BGC△AGBS1份。因此整个正方形ABCD就是11126份，四边形AGCD占△BGC2314份。所以S126496（平方厘米）。四边形AGCD10、如图，在四边形ABCD中，AB3BE、AD3AF，四边形AEOF的面积是12，求平行四边形BODC的面积。AAFF428EDEDO1O66BCBC解析：如图，连接AOBD、。根据燕尾模型知，S:SAFDF:1:2，△ABO△BDOS:SAEBE:2:1，设S1份，我们可以将各个三角形所占份数△ADO△BDO△BEO标记出来，如图所示，所以SS221224。平行四边形BODC四边形AEOF