江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期期中数学Word版含解析

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2022-2023扬州中学高二上学期期中考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为60o，且经过点，则直线的方程为（）A.B.C.D.2.以点，为直径端点的圆的方程是（）A.B.C.D.3.已知双曲线：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（）A.-8B.8C.10D.4.“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若圆：过坐标原点，则实数的值为（）A.2或1B.-2或-1C.2D.-16.设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为（）A.6B.C.8D.7.已知点在直线上运动，则的最小值是（）A.B.C.D.8.如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是A点关于原点O的对称点，若且，则椭圆的离心率为（）

1A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，若，则点P的坐标为（）A.B.C.D.10.设双曲线：的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（）A.若，，则C的两条渐近线的方程是B.若点的坐标为，则的离心率大于3C.若，则的面积等于D.若为等轴双曲线，且，则11.光线自点射入，经倾斜角为的直线：反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（）A.B.C.D.12.已知曲线的方程为，圆：，则（）A.表示一条直线B.当时，与圆有3个公共点C.当时，存在圆，使得圆与圆相切，且圆与有4个公共点D.当与圆的公共点最多时，的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

213.若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______.14.若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为________.15.已知圆：，直线：，P为直线上的动点，过P做圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，则四边形PAMB的面积的最小值为________.16.过双曲线：的左焦点的动直线与的左支交于A，B两点，设的右焦点为.若存在直线，使得，则的离心率的取值范围是______.四、解答题：共070分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，当为何值时，（1）方程表示焦点在轴上的椭圆；（2）方程表示双曲线.18.求满足下列条件的直线方程.（1）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；（2）经过点，并且与圆相切的直线方程.19.已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线的左右焦点，.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.20.已知圆：与圆：.（1）求证：圆与圆相交；（2）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程.21.已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为.（1）求圆C的方程；（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.（1）求椭圆的方程；

3（2）点F为椭圆的右焦点，过C上一点的直线：与直线：交于点为P，直线AF交C于另一点B，设AB与OP交于点Q.证明：（i）；（ii）Q为线段AB的中点.参考答案：1.C【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.2.D【详解】A，B的中点坐标为，即圆心为，，所以圆的半径为，所以圆的方程为.3.A【详解】由，得，得，因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，所以.4.A【详解】由直线和直线垂直，可得，∴，∴或.当时，直线和直线垂直；当直线和直线垂直时，不一定成立.所以是直线和直线垂直的充分不必要条件.5.C【答案】C【分析】把代入圆方程计算,注意方程要表示圆.【详解】∵表示圆，∴∴.又圆过原点，∴，∴或（舍去）；.故选:C.6.B【详解】解：由椭圆的方程可得，，

4所以，得，且，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，.7.A【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为.8.C【详解】作另一焦点，连接和和，则四边形为平行四边，所以，且，则三角形为等腰直角三角形，设，则，解得，，在三角形中由勾股定理得，所以，，故答案为：.9.AB【详解】抛物线的准线方程为，设点的坐标，∵，∴，∴.

5把代入方程得，∴.∴点P的坐标为.10.BC【详解】解：由题意得：A选项：当，时，双曲线的渐近线的斜率，A错误；B选项：因为点在C上，则，得，所以，故B正确；C选项：，若，则，即，即，得，所以，C正确；D选项：若C为等轴双曲线，则，从而.若，则，.在中，由余弦定理，得，D错误11.BD【详解】因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为，设点关于直线：的对称点为，则，解得，所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，当时，；当时，.12.BC【详解】由，得+，即，则表示两条直线，其方程分别为与，所以A错误；因为到直线的距离，所以当时，直线与圆

6相切，易知直线与圆M相交，C与圆M有3个公共点，所以B正确；当时，存在圆N，使得圆M内切于圆N，且圆N与这两条直线都相交，即与C有4个公共点C与圆M的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；当时，圆与直线、交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误，13.3【详解】因为点P到焦点的距离为4，所以点P到抛物线准线的距离为4，所以点到轴的距离为3.14.【详解】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，∴直线与之间的距离.15.【详解】由题知，：()()，圆心为，半径，圆心到直线：上的点P的最短距离为，所以切线长，故四边形的面积的最小值为.16.(【详解】依题意知直线的斜率不为0，设的方程为，联立，消去，得，设，，则，，

7由得，故，即，整理得，即，则，所以，故，所以，两边除以，得，解得,又因为，所以，故，又A，B在左支且过，所以，即，故,所以，所以,即，则，故，即，综上：，即.17.（1）（2）或18.（1）或；（2）或（1）i.当截距都为0时，所求直线为.ii.当截距不为0时，设为，代入得，故所求直线为；（2）圆方程配方为，圆心为，半径，代入易得该点不在圆上，i.当切线斜率不存在时，即，与圆相切，符合题意；ii.当切线斜率存在时，设为，由相切得，故所求切线为19.（1）；（2）证明见解析【分析】（1）由题知：由双曲线的定义知：，又因为，所以，所以所以，双曲线的标准方程为.（2）设，则因为，，所以，

8所以20.（1）证明见解析（2）（1）证明：圆：化为标准方程为，∴，，∵圆：的圆心坐标为，半径为，∴，∵.∴两圆相交；（2）解：由，解得或则交点为，，∵圆心在直线上，设圆心为，则，即，解得，故圆心，半径，∴所求圆的方程为.21.（1）；（2）不存在，理由见解析.【详解】（1）设圆的方程为圆心在射线上，所以，圆与轴相切，则点到直线的距离，由于截直线所得弦长为，所以.则得，又所以，（舍去），，故圆C的方程为；（2）假设存在，由（1）得，因为，所以P，C在线段AB的中垂线上，则.因为，所以，解得；当时，直线方程为即，圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意；所以不存在实数满足题干要求.

922.（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，因为的短轴的一个端点的坐标为，所以，，因为，所以.得，所以，所以椭圆的方程为.（2）证明：（i）将代入，，解得，，所以，，（ii）由直线AB过焦点，得到直线方程为.)代入.并结合整理，得，设()）.则，设中点为，则，则，即，所以，又，.所以，即，共线，即AB的中点R在直线OP上，从而点R与Q重合，故Q是线段AB的中点.