重庆市长寿中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学Word版含答案

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重庆市长寿中学校高三上学期12月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合，集合，则()A.B.C.D.2．复数在复平面内对应点的点是，则复数是虚数单位的虚部为()A.B.C.D.3．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为()A.或B.C.或D.4．如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则()A.B.C.D.5．某地高考规定每一考场安排名考生，编成六行四列就坐若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是()A.B.C.D.6．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则当取最大值时，外接圆的面积()A.B.C.D.7．如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且如图将四边形沿折起，连结、、如图在折起的过程中，下列说法中错误的个数是()平面；

1、、、四点不可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直．A.1B.2C.3D.48．已知函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是()A.或B.或C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9．已知函数，下列叙述正确的有()A.函数是偶函数B.函数的周期为C.函数在区间上单调递减D.，，10．已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则()A.的最小值为B.面积的最大值为C.直线的斜率为D.直线与直线的斜率之积为定值11．已知二项式的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的是()A.B.展开式中二项式系数和为C.展开式中项的系数为D.展开式中有项有理项

212．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．以下判断正确的是()A.该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B.该单位每月最低可获利元C.该单位每月不获利也不亏损D.每月需要国家至少补贴元才能使该单位不亏损三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是．14．已知函数为奇函数，设，则．15．若，，，且，，共面，则．16．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为．四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．本小题10分已知等差数列和等比数列满足，，，．求数列，的通项公式；设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．18．本小题12分如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏．

3若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长单位为百米；若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图，使得为正三角形，求的面积最小值．19．本小题12分月日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩满分为分作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，，．求频率分布直方图中的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数；在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行调查分析，求这人中至少有人成绩在内的概率．20．本小题12分如图，已知平行六面体中，底面是边长为的菱形，，．求线段的长求异面直线与所成角的大小．21．本小题12分已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的周长为．

4求的方程；设为上异于，的动点，直线与轴交于点，过作，交轴于点试探究在轴上是否存在一定点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．22．本小题12分若函数和的定义域均为，关于和的“线函数”定义如下：存在实数，使得．函数，线函数，求实数的值；若关于和的线函数同时满足以下条件：是偶函数；的最小值为求的解析式．重庆市长寿中学校高三上期·12月月考数学答案1．C解：因为集合，所以，在集合中，因为，得，即，又，所以，，，即．故选C．2．A解：根据题意，，的虚部为．故答案选：A．3．D解：两个正实数，满足，，，当且仅当，即，时等号成立，

5，又不等式恒成立，则应，解得，故选：D．4．B解：由题意可得，，，故选B．5．B解：根据甲的位置不同分三种情况讨论：甲坐在四个角的位置，有种坐法，而乙有种坐法，则有种坐法甲坐在四条边上但不是四个角上，有种坐法，乙有种坐法，则有种坐法甲坐在中间的位置，有种坐法，乙有种坐法，则有种坐法共有种甲、乙共有种，两人前后左右均不相邻的概率是．故选B．6．B解：令，则，所以，则，当且仅当时取得等号．又，故．又，所以当时，取得最大值，故此时由正弦定理可得的外接圆的直径为，所以此时外接圆的面积为．故选：B．7．A

6解：对于，在图中记与的交点中点为，取的中点为，连结，易证得四边形为平行四边形，即，面，面，平面，故正确；对于，如果四点共面，由平面，，与已知矛盾，故正确；对于，在梯形中，易得，又，，平面，即有，又，与相交，平面，则平面平面，故正确；对于，延长至使得，连结、，易得平面平面，过作于，则平面．若平面平面，则过作直线与平面垂直，其垂足在上，矛盾，故错误．故选：A．8．D解：作出函数的大致图象，如图所示：设，则当或时，方程只有个解，当时，方程有个解，当时，方程有个解，当时，方程无解，关于的函数有个不同的零点，关于的方程在上有两个不相等的根，，解得：，即实数的取值范围是，故选D．9．AC

7解：函数定义域为，且，即A正确易知，，所以，即B错误当时，，则，所以在该区间上单调递减，即C正确由B所举例可知，D错误．故选AC．10．BCD解：如图所示，对于，设椭圆的右焦点为，连接，，则四边形为平行四边形，，，当且仅当时等号成立，故A错误；对于，由，得，，的面积，当且仅当时等号成立，故B正确；对于，设，则，，故直线的斜率，故C正确对于，设，则，又因为点和点在椭圆上，所以，，得：，

8因为，则，得，所以，直线与直线的斜率之积为定值，故D正确．故本题选BCD．11．BD解：令，得，所以，A错误；展开式中二项式系数和为，B正确；展开式的通项公式为，令，解得，展开式中项的系数为，C错误．展开式的通项公式为，当，，时，为有理项，D正确；故选BD．12．AD解：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．设该单位每月获利为，则，因为，所以当时，有最大值元．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．故选AD．13． 解：函数的对称轴为，则或，解得或．则的取值范围为．故答案为．14．

9解：函数为奇函数，，所以，即，则，，，则，则，所以，故答案为．15．解：，，共面，且易知，不共线，存在实数使得，解得．故答案为：．16．解：由已知当时，，令，则当时，，所以在上单调递减．由是定义在的奇函数，，故是定义在的偶函数．令，则关于对称，且在上单调递减，当时，，则，即，即，所以，得；当时，，则，

10即，由上可得在上单调递增，即，所以，得，故不等式解集为．17．解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，，可得，，则，，，，；由题意可得的前几项为，，，，，，，，，，，，即在与之间有项，可得的第项在与之间，所以．18．解：点是等腰三角形的顶点，且，，且由余弦定理可得：，解得：，又，在中，，，，在中，由余弦定理得，解得，，，连廊的长为百米．解：设图中的正三角形的边长为，，则，，设，可得，，，在中，由正弦定理得：，即，

11即，化简得：，，其中，为锐角，且．19．解：由频率分布直方图可得，，则，前组的频率和为，第组频率为，所以第百分位数位于第组内，记第百分位数为，则，解得，即第百分位数为；由频率分布直方图可知，成绩在，，内的频率分别为，，，采用分层抽样的方法从样本中抽取的人，成绩在内的有人，记为，成绩在内的有人，记为、，成绩在内的有人，记为、、，则从成绩在内的人随机抽取人，共有：、、、、、、、、、、、、、、，共有种，人中至少有人成绩在内，共有：、、、、、、、、、、、，有种，记事件“人中至少有人成绩在内”，则．20．解：设，则，又，所以，又，所以

12，所以线段的长为．，，所以，所以，即异面直线与所成角的角为．21．解：依题意，．由椭圆的对称性可知，四边形为菱形，其周长为．所以，所以的方程为．设，则，直线的方程为，故，由知的方程为，故，假设存在，使得，则，解得．所以当的坐标为时，．22．解：函数，，线函数，可得，即有，，，解得；关于和的线函数，可得，由为偶函数，可得，即有，即为，化为，则，又，

13由的最小值为，可得，由，当且仅当时函数取得最小值，即，故F