四川省成都市第七中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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成都七中高2025届高二12月阶段性测试数学试题一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的方向向量得到直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又因为，所以，故选：C.2.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为（）A.50B.80C.100D.200【答案】C【解析】【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.【详解】由题意样本容量.故选：C.3.直线被圆截得的弦长为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长.【详解】由圆， 得圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为.故选：D.4.设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（　　）A.12B.24C.D.【答案】B【解析】【分析】利用条件及双曲线的定义求出，进而可得为直角三角形，然后直接求面积即可.【详解】由双曲线得，又，且，得到，所以，即为直角三角形，所以.故选：B.5.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（） A.B.C.4D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故选：C.6.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由并联和串联电路的性质先求出从A到B电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.【详解】上半部分电路畅通的概率为：， 下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，畅通的概率为：.故选:A．7.正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，又，所以，，所以的取值范围为．故选：D． 8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：， 所以椭圆离心率为.故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）9.有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则（）A.，，，的平均数等于，，…，的平均数B.，，，的中位数不等于，，…，的中位数C.，，，的标准差不小于，，…，的标准差D.，，，的极差不大于，，…，的极差【答案】BD【解析】【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可.【详解】对于A，令样本数据为，则的平均数为2，而的平均数为3，两者不相等，A错误；对于B，不妨令，，…，从小到大排列，所以的中位数等于的中位数等于，B正确；对于C，令样本数据为，可知的平均数是5，的平均数是5， 所以的方差，的方差，所以，C错误；对于D，不妨令，，…，从小到大排列，则，，D正确.故选：BD.10.如图所示，正方体中，分别在上，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.与异面D.【答案】BD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系.【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为3，则 与不垂直，故A错误；，故B正确；，故C错误，D正确.故选：BD.11.已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点．则（）A.抛物线的方程为B.直线一定过抛物线的焦点C.线段长最小值为D.【答案】ACD【解析】【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线的方程，可判定A正确；设，得出和的方程，联立方程组，结合，得到是方程的两个不等式的实数根，再由韦达定理和，可判定D正确；由，得出直线，结合直线的点斜式的形式，可判定B不正确，再由圆锥曲线的弦长公式，结合二次函数的性质，可判定C正确.【详解】由抛物线，可得焦点坐标，准线方程为，因为抛物线上存在一点到其焦点的距离为，由抛物线的定义可得，可得，所以抛物线的方程为，所以A正确；设，显然直线的斜率存在且不为0，设斜率为，可得的方程为，联立方程组，整理得，因为是抛物线的切线，所以，即，且点的纵坐标为，代入抛物线方程，可得横坐标为，即， 设直线的斜率存在且不为0，设斜率为，同理可得：，且，所以是方程的两个不等式的实数根，所以，因为，所以，所以D正确；由，且，可得，则直线的方程为，即，又由，可得，所以，即，所以直线一定过定点，该点不是抛物线的焦点，所以B不正确.由直线的斜率不为0，设直线的方程为，且，联立方程组，整理得，所以，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以C正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线有关问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2 、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.12.已知椭圆：：的左、右焦点分别为、，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（　　）A.B.椭圆的离心率是C.的最小值为D.的值为【答案】AC【解析】【分析】对于A：利用椭圆与抛物线的对称性可得点坐标，代入抛物线方程，进而可判断；对于B：将点坐标代入椭圆方程即可判断；对于C：利用椭圆定义以及基本不等式计算可判断；对于D：利用角平分线的性质结合比例的性质即可计算.【详解】对于A：椭圆：的左、右焦点分别为、，右顶点为A，则，，因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，由椭圆与抛物线的对称性可得B，C两点关于轴对称，设，因为四边形是菱形，所以中点是的中点，所以，即，所以， 则，所以，A正确；对于B：由选项A得，代入椭圆方程可得，化简得，进而可得，B错误；对于C：由选项B可得，则，所以，则，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，C正确；对于D：连接和，如图：因为是的内心，则为的平分线，由角平分线定理可得，同理，所以，所以，即，D错误.故选：AC. 三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.已知两条平行直线：，：间的距离为，则______．【答案】或16【解析】【分析】可先通过两直线平行求出参数，接着将两直线的变量系数化为一致，再利用距离公式求解即可.【详解】因为，所以，解得，则：，可化直线为，所以与的距离为，解得或则或．14.已知为圆C：上任意一点，则的取值范围为________【答案】【解析】【分析】求的取值范围表示圆上的点与点连线的斜率的取值范围，画出图形，可知当直线与圆相切时斜率取到最值，利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】由题意，表示圆上的点与圆外的点连线的斜率.把圆化为标准式，圆心，半径.设过点的直线方程为，即.当直线与圆相切时，斜率取得最值.由，解得或.所以取值范围为.故答案为：. 15.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得个的概率是____________．【答案】【解析】【分析】分成两种情况，恰好两门科目，三门科目，根据独立事件的乘法公式计算.【详解】考生至少拿到两个的事件为，三门科目为事件，恰好两门科目为事件，由题意，，且互斥.三门科目，恰好两门科目，.根据互斥事件的加法公式，.故答案为：16.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为____________．【答案】6【解析】【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.【点睛】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）17.已知圆经过，两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）求过点且与圆相切的直线方程．【答案】（1）x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）y＝2或4x﹣3y+6＝0．【解析】【分析】（1）由圆心在直线上，设圆心为（1，t），再由经过，两点可得1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，求得圆心和半径即可得解；（2）根据题意切线的斜率存在可设直线方程为y＝kx+2，再利用直线和圆相切可得d＝＝2，求得即可得解.【小问1详解】根据题意，设圆心C的坐标为（1，t），则有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，解可得t＝0，即圆心的坐标为（1，0），圆的半径r＝＝2，则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；【小问2详解】 根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k，则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；则有d＝＝2，解可得k＝0或；故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0．18.在平面直角坐标系中，有两个圆：，和圆：，一动圆与圆内切，与圆外切．动圆圆心的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点．（1）求曲线的方程；（2）求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据两圆位置关系列式可得动圆圆心的轨迹为双曲线的一只，根据双曲线的定义可得轨迹方程；（2）将双曲线方程和直线方程联立，根据方程有两不等负根列不等式组求解即可.【小问1详解】圆：和圆：的圆心分别为，半径均为，令动圆的半径为，显然，当动圆Р与圆内切，与圆外切时，，即，因此动圆圆心的轨迹是以，为焦点，且实轴长为的双曲线的左支，故曲线的方程为；【小问2详解】直线与曲线交于两个不同的点， 联立，消去得，该方程有两不等负根，所以，解得.19.2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图（1）求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据频率直方图按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案；（2）确定第组中的人数，从而求得5名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【小问1详解】 设中位数为x,平均数为,因为前三个矩形面积为，故，解得；.【小问2详解】人，人,即第五组有30人，第六组有20人,人，人，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取两人,设从抽取的5人中抽取2人，设五组的三人为，第六组的两人为,则共有抽法为，共10种，其中恰有一人得分为90及以上的抽法有6种，故90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．20.如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，．（1）证明：平面平面；（2）若与所成角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据，为的中点，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量为，再由平面的一个法向量为，由求解.【小问1详解】证明：∵，是的中点，∴，又，，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；【小问2详解】解：∵、、，∴，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，连接，∵、，∴四边形为平行四边形，∴，∴是异面直线与所成的角，则，∴，则、、、，∴，设平面的法向量为，又、，∴，令，则、，∴，又平面的法向量，设二面角的平面角为，经观察为钝角，∴． 21.已知抛物线C：，点，直线l过点M且与抛物线C交于A，B两点．（1）若P为抛物线C上的一个动点，当线段MP的长度取最小值时，P点恰好在抛物线C的顶点处，求a的取值范围；（2）当a为定值时，在x轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称？若存在，指出点N的位置并证明，若不存在请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设，表示出，然后利用二次函数的性质求解；（2）设直线的方程为，，假设存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称，联立，利用韦达定理代入计算即可得答案.【小问1详解】设，则，于是，设，对称轴，又时取最小值，所以，得，即a的取值范围是；【小问2详解】 设直线的方程为，，假设存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称，则，且设，联立，消去得，则，所以，于是，整理得，所以或，当时，直线方程为，此时点在轴上任意一点均满足假设，当时，.综上：存在异于点M的点，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称22.椭圆的上顶点为P，圆在椭圆E内．（1）求r的取值范围；（2）过点作圆C的两条切线，切点为AB，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M．直线AB与y轴交于点S，直线MN与y轴交于点T．求的最大值，并计算出此时圆C的半径r．【答案】（1） （2）最大值为，【解析】【分析】（1）设椭圆上任意一点，可得，求出，进而可得r的取值范围；（2）设，过点的直线的方程为，根据点到直线的距离公式得到，则可得，再联立，求出坐标，设出直线的方程，代入坐标计算，再求解即可》【小问1详解】不妨设椭圆上任意一点，且此时半径，又，当x0=2时取等号.所以，所以r的取值范围为；【小问2详解】过点作圆C的两条切线，当两条切线均存在斜率时，设经过点的直线的方程为，则，整理得，所以有 又以为直径的圆的方程为则直线的方程为，整理得，令得，即，联立，消去得，所以，即，不妨设直线的方程为，则，整理得，所以为方程的两个根，则，又，所以，解得，此时，当且仅当，即时取等号，当两条切线中一条斜率不存在时，，此时,PA即y轴，此时，，综上的最大值为，此时. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是通过计算求出相关点的坐标，进而才能求出长度表达式，对于计算的准确性以及计算速度要求高.