吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二下学期开学考试 数学 Word版含解析.docx

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长春外国语学校2023-2024学年第二学期高二年级开学考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知向量，且，则（    ）A．B．C．D．2．在等比数列中，，，则公比（    ）A．B．C．D．3．若直线经过点和圆C：的圆心,并且与直线垂直,则m的值为（    ）A．-4B．4C．-1D．14．设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ）A．1B．2C．D．5．设是等差数列的前项和，若，则（    ）A．B．C．D．6．下列命题正确的个数是（       ）①若A，B，C，D是空间任意四点，则有= ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面③若共线，则与所在直线平行④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面A．0B．1C．2D．37．正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（    ）A．B．C．D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率（    ）A．B．C．D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）9．直线，圆，下列结论正确的是（    ）A．直线恒过定点B．直线与圆必有两个交点C．直线与圆的相交弦长的最大值为D．当时，圆上存在3个点到直线距离等于110．数列中，，，若，都有恒成立，则（    ）A．为等差数列B．为等比数列C．D．实数的最小值为11．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点，点P到点Q和到y 轴的距离分别为，则（    ）A．抛物线C的准线方程为B．若，则周长的最小值等于3C．若，则的最小值等于2D．若，则的最小值等于第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点的抛物线的标准方程是____________.13．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．14．已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）记为数列的前项和.(1)若为等差数列，且，求的最小值；(2)若为等比数列，且，求的值.16．（15分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，,求直线方程.17．（15分）如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形． （1）求证：平面BCD⊥平面ACE；（2）若，，，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值18．（17分）己知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．(1)求双曲线的方程；(2)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；(3)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．19.（17分）已知数列中，，（）.（1）求数列的通项；（2）求数列的前n项和；（3）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围.长春外国语学校2023-2024学年第二学期高二年级开学考试数学试卷答案一、选择题12345678DACCDBAD91011ABDACBD 二.填空12.13.,14.三.解答题:15.【答案】(1)7(2)2【分析】（1）根据题意结合等差数列通项公式求得，进而求，解不等式即可；（2）根据题意结合等比数列通项公式求得，，进而求，代入运算即可.【详解】（1）设的公差为，由条件可得，解得，由，解得或，且，所以的最小值为7.（2）设的公比为，由条件可得，即，解得，则，所以.16.【答案】（1）（2）或【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，因为椭圆的离心率为，即，所以，，所以椭圆方程为（2）设过抛物线焦点的直线方程为，联立得：，设，则，根据焦点弦公式可得：，解得：，，所以直线方程为或 17.【答案】(1)略(2)【解析】（1）∵AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴BC⊥AC．∵四边形OAED为矩形，OD⊥平面ABC，∴AE//OD，AE⊥平面ABC，............................................................2分又平面ABC，，平面ACE，平面ACE，∴BC⊥平面ACE．又平面BCD，∴平面BCD⊥平面ACE．............................................................5分（2）以C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x，y轴，过点C且与OD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．......................................................7分设平面ADE的法向量为，则，即，令，得，所以．............................................................9分设平面CDE的法向量为，则，即，令，得，，所以，.....................................................11分所以，所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为．............................................................12分 18.【答案】(1)(2)(3)-4（1）由题意可得，解得，因此，双曲线的方程为(2)设，则，渐近线为，P到两条渐近线的距离之积..................................................................5分（3）由已知，得，设或，在双曲线上，所以，因此或，对称轴为，由于或，所以当时，取得最小值为.....................12分19.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因为①，当时，②，由①②得，整理得到，又由， 当时，得到，即，............................................................2分故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，又时，，所以.............................................................4分（2）由（1）知，当时，，当时，③，④，............................................................5分由③④得到，整理得，............................................................7分又时，，所以............................................8分（3）因为，等价于，当时.，...................................................9分由（1）知，当时，，设，则对恒成立，所以，故当时，，又，所以.........................................................................12分