湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学Word版含解析.docx

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湖南师大附中2023-2024学年度高一第二学期入学考试数学试卷（考试范围：必修1）时量：120分钟满分：150分一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知全集，则集合（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.【详解】，且，则集合中不包含元素，即.故选：C2.已知上的函数，则“”是“函数为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】取，，则，但，即，所以函数不是奇函数，故充分性不满足；若函数为奇函数，则，即，故必要性满足；所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件.故选：B 3.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数的图象．故选：．4.函数的图象可能是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】通过函数的定义域排除D选项；通过函数的零点、在，，，四段范围内函数值的正负可排除AB选项，确定C选项.【详解】函数的定义域为，故排除D选项；令，即或，所以函数有两个零点1，，当时，，则，，则，故排除AB选项； 当时，，则，，则；当时，，，则；当时，，，则.所以函数的图象可能是C选项.故选：C.5.已知实数a，b，满足恒成立，则的最小值为（）A.2B.0C.1D.4【答案】A【解析】【分析】化简可得，再根据函数单调递增判断即可.【详解】，所以，因为函数单调递增，所以，即.故选：A．6.已知，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，根据同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.【详解】解：∵且，所以，所以故选：D. 7.已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出，再结合基本不等式计算即可.【详解】易知函数定义域为R，且，所以为R上的奇函数，有，由复合函数的单调性可知单调递增，由，得，即，因为为正实数，则有，而，当且仅当即时等号成立，所以，则的最大值为.故选：B.8.已知，则以下关于的大小关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小．【详解】由，令，则在定义域内单调性递增，且，由零点存在性定理可得，， 又，因此，，可得，，，，，，，．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设，，，为实数，且，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性质判断，利用特殊值判断BC，利用作差法，结合不等式的性质判断D.【详解】由可得，，A正确；时，，B不正确；时，，C不正确；因为，所以，所以所以，D正确；故选：AD.10.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的有（）A.若，则函数至少有一个零点 B.存在实数，使得函数无零点C.若，则不存在实数，使得函数有三个零点D.对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点【答案】ABD【解析】【分析】同一坐标系中，作出函数的图象，结合图象，利用数形结合法求解.【详解】A中，当时，函数，令，可得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示，由图象及直线过定点，可得函数至少一个零点，故A正确；  B中，当，时，作出函数的图象，由图象知，函数没有零点，所以B正确；  C中，当时，在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示，由图象可得，此时函数有3个零点，所以C错误；   D中，分别作出当时，函数的图象，由图象知，对于任意实数，总存在实数使得函数有两个零点，所以D正确.  故选：ABD.11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（    ）A.B.函数的图象关于点对称C.当时，水深度达到D.已知函数的定义域为，有个零点，则【答案】ACD【解析】 【分析】根据图象最值求出，再根据图象得到其周期则得到，代入最高点求出，则得到三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利用整体法和其对称性即可判断D.【详解】对A，由图知，，，，的最小正周期，，，，解得：，又，，，故A正确；对B，令，，解得，，当时，，则，则函数的图象关于点对称，故B错误；对C，，故C正确；对D，，则，令，则，令，则根据图象知两零点关于直线，则，即，则，则，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】 【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设圆心角的弧度数为，则，解得.故答案为：.13.若，则________．【答案】【解析】【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.【详解】因为，则，又因为，则，且，解得或（舍去），所以.故答案为：.14.如图，正方形的边长为分别为边上的点.当的周长为2时，则的大小为______.【答案】 【解析】【分析】设出角，然后求得，再根据的周长求得，即可得解.【详解】设，则，则，，即，将上式两边平方，整理得，即，因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决该试题的关键是能根据边表示出，的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合.（1）求；（2）已知集合，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．【详解】解：（1），，，.（2）当时，，即成立； 当时，成立.综上所述，．【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在中，要注意的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．16.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用恒等变换得到，再利用正弦函数的性质求解；（2）由，得到，再由，利用两角和的余弦公式求解.【小问1详解】解：，，所以最小正周期；【小问2详解】由，得， 因为，，所以，所以，.17.如图，一个半径为4米筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.（1）求的值；（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？【答案】（1）；（2）分钟；（3）再经过分钟后盛水筒不在水中.【解析】【分析】（1）先结合题设条件得到，，求得，再利用初始值计算初相即可；（2）根据盛水筒达到最高点时，代入计算t值，再根据，得到最少时间即可；（3）先计算时，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求，再由 分钟后，进而计算d值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，，即，所以，由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，当时，，代入得，，因为，所以；（2）由（1）知：，盛水筒达到最高点时，，当时，，所以，所以，解得，因为，所以，当时，，所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；（3）由题知：，即，由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，所以，所以，所以，再经过分钟后，所以再经过分钟后盛水筒不在水中. 【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.18.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意，不等式都成立，求实数的最大值.【答案】18.不是“依赖函数”，理由见解析；19..【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义举例子判断即可；（2）分类讨论解决函数不等式恒成立的问题，分离参数，转化为求函数在的最小值问题即可.【小问1详解】对于函数的定义域R内存在，而无解，故不是“依赖函数”.【小问2详解】①若，故’在上最小值为0，此时不存在，舍去；②若，故’在上单调递减，从而，解得（舍）或.从而存在使得对任意的，有不等式都成立， 即对恒成立，则，得，由存在，使能成立，又在单调递减，故当时，，从而，解得，综上，故实数的最大值为.19.已知e是自然对数的底数，．（1）判断函数在上的单调性并证明你的判断是正确的；（2）记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取，且，可证，即，则可判断函数单调性；（2）将对任意的恒成立，转化为恒成立，即可求出a的取值范围.【小问1详解】解：函数在上单调递增，证明如下：任取，且，则 因为，且，所以，所以，，，故，即，所以在上单调递增.【小问2详解】，问题即为恒成立，显然，首先对任意成立，即因为，则，所以.其次，，即为,即成立，亦即成立,因为，所以对于任意成立，即，所以.