江苏省盐城市2022届高三下学期三模数学试题 Word版含解析 .docx

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盐城市2022届高三年级第三次模拟考试数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由全集和集合可求出，再由交集运算性质即可求解.【详解】由题意得，，又则，因为，所以，故选：A.2.设为虚数单位，复数满足，则的虚部是()A.-1B.iC.-2D.-2i【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算法则计算并根据复数的基本概念即可求解．【详解】，∴z的虚部为-2．故选：C．3.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A.54种B.240种C.150种D.60种【答案】C【解析】【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解. 【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，①三组人数为1、1、3，此时有种；②三组人数为2、2、1，此时有种.所以共有60+90=150种.故选：C4.已知数列，均为等差数列，且，，，则的值为（）A760B.820C.780D.860【答案】B【解析】【分析】数列，均为等差数列，则数列也为等差数列，结合等差数列的定义与通项进行运算求解．【详解】∵数列，均为等差数列，设公差分别为则数列也为等差数列，，数列的首项为100，公差为20∴，故选：B．5.函数的大致图象是()A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据和函数值得正负即可排除CD，再根据f(1)和f(2)的函数值即可排除A．【详解】时，指数函数增速快于二次函数，故f(x)→+¥，图象单调递增，故排除C；时，，，故，故排除D；又，即f(x)>0时有两个零点，故图象B符合，图象A不符合．故选：B．6.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】从函数的图象开始，将题目中的变换过程反向进行，进而求出答案.【详解】根据题意，先将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，再将该函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.故选：A. 7.已知点为椭圆：的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的△有且只有一个，则的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设：取，联立椭圆结合求出A、B的点坐标，由及两点距离公式得到，根据题设且无其它k值，得到，进而求的范围，即可求离心率范围.【详解】设直线：，则：，而，不妨取，直线与椭圆联立，消去得，解得，所以，则，因为，所以，整理得，，易知符合，因为满足条件的△有且只有一个，所以无之外的解，整理得，所以，即，所以离心率．故选：B8.已知正实数a，b，c满足：，，则a，b，c大小满足（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】首先利用三角函数恒等变形，判断；再根据函数的单调性判断的关系，再构造函数，利用导数求函数的最大，即可判断选项.【详解】由，又单增，，则，设,，得，当，，函数单调递增，当时，，单调递减，所以函数的最大值又，∴，故选：D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（）A.图象关于直线对称B.C.的最小正周期为4D.对任意都有【答案】ABD【解析】【分析】由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误.【详解】由的对称中心为，对称轴为，则也关于直线对称且，A、D正确，由A分析知：，故，所以， 所以的周期为4，则，B正确；但不能说明最小正周期为4，C错误；故选：ABD10.设直线l：，交圆C：于A，B两点，则下列说法正确的有（）A.直线l恒过定点B.弦AB长的最小值为4C.当时，圆C关于直线l对称的圆的方程为：D.过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为【答案】BC【解析】【分析】A.由直线过定点求解；B.由CP垂直l求解；C.求得点关于直线的对称点求解；D.由垂足为时，线段MC长最小求解.【详解】直线的方程可化为，过定点，即A错误；设，则圆心到直线的距离，且半径，所以最小弦长为，即B正确；时，直线方程为，则点关于直线对称的点为，即C正确；当垂足为时，，即D错误．故选：BC11.已知锐角，下列说法正确的是（）A.B.C.，，则D.【答案】BCD【解析】【分析】取特殊值，可判断A;根据三角形是锐角三角形，可知，判断B; 利用同角三角函数的关系式可求得，结合正切函数的单调性，可判断C;由三角形是锐角三角形可得，可得，结合辅助角公式，以及三角函数性质，可判断D.【详解】对于A，取，则，可知A错误；对于B，由于是锐角三角形，故，故，故B正确；对于C，锐角中，由知，故，则，即C正确；对于D，是锐角三角形，故，所以，故，即，即D正确，故选：BCD12.如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积随着点的运动而变化B.异面直线与所成角的取值范围是C直线平面D.三棱锥的外接球表面积的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对于A选项，连接，由平面，即直线上任意点到平面的距离相等；对于B选项，为正三角形，则当且仅当在中点时，，即可判断；对于C选项，证明平面即可，对于D选项，当为中点时，外接球半径最小，计算即可.【详解】对于A选项，因为，所以平面，所以，为定值，即A错误；对于B选项，因为为正三角形，与所成角的范围为，即B正确；对于C选项，易知，，，，，则平面平面，可知平面，平面，即C正确；对于D选项，易知当为中点时，外接球半径最小， 此时设的中心为，的中心为，的中点为，则，，，则易知，所以最小球即为以为球心，半径，表面积，即D错误．故选：BC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.二项式展开式中常数项为__________．【答案】2500【解析】【分析】求出二项式展开式的通项，令x的次数为0，求出对应的r取值，从而可求展开式的常数项．【详解】展开式的通项为，，∴常数项为．故答案为：2500．14.已知抛物线方程为，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为（O为坐标原点）的垂心，则实数的值为__________．【答案】5【解析】【分析】设，，则可得，根据数量积为0，即可求得答案.【详解】由题意知，,设，，则， 故，则，∴，故答案为：515.已知平面凸四边形ABCD，点E、F分别在AD、BC上，满足，，且，与的夹角为，设，，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】以、为基底表示出，再将式子两边平方转化为长度关系，由此即可利用基本不等式求得m+2n的最大值﹒【详解】∵①，且②，则①×2+②得：，即，∵，，∴，两边平方可得，，∴，解得，当且仅当时，等号成立．故答案为：．16.已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________． 【答案】##【解析】【分析】构造新函数，利用已知条件，可以判断单调递增，利用的单调性即可求出不等式的解集【详解】设函数，则又所以在上单调递增，又故不等式可化为由的单调性可得该不等式的解集为．故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知正项等比数列满足，请在①，②，③，，中选择一个填在横线上并完成下面问题：（1）求的通项公式；（2）设，的前和为，求证：．【答案】（1）选择见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式代入求解；（2）利用裂项相消求和，注意．【小问1详解】 设正项等比数列公比为q，又，选①，，所以；选②，，所以；选③，，所以，∴；又，∴，则．【小问2详解】因为，所以．18.已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足，D是AC边上的点且，．（1）求；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理以及，直接计算可求解.（2）根据三角形面积公式以及基础不等式，列出相应的方程组，即可求解.【小问1详解】由余弦定理可知，，由于，所以.【小问2详解】 由于，则，即，解得，当且仅当，即，时等号成立，故，即19.某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排三个部门（A，B，C）的12名工作人员下沉到该地的甲、乙、丙、丁四个村担任疫情防控志愿者，已知A部门6人，B部门3人，C部门3人．（1）若从这12名工作人员中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；（2）若将这12名工作人员安排到甲、乙、丙、丁四个村（假设每名工作人员安排到各个村是等可能，且每位工作人员的选择是相互独立的），记安排到甲村的工作人员为A部门的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为.【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求法求至少有2个组长来自A部门的概率；（2）由题设知，应用二项分布概率公式求各可能值的概率，写出分布列，由二项分布期望公式求期望.【小问1详解】由题设，至少有2个组长来自A部门的概率.【小问2详解】由题设，所以，，，，，， ，X的分布列如下：0123456X的数学期望.20.已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．（1）求双曲线的方程；（2）设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由渐近线可得，再把点代入方程即可解得；（2）点M到y轴的距离的即为点M的横坐标为，联立方程利用韦达定理可求，分析求解即可，但要注意讨论直线的斜率是否存在．【小问1详解】由题设可知，解得则：．【小问2详解】设点M的横坐标为当直线斜率不存在时，则直线：易知点到轴的距离为﹔ 当直线斜率存在时，设：，，，联立，整理得，，整理得联立，整理得，则，则，即则，即∴此时点到轴的距离大于2；综上所述，点到轴的最小距离为2．21.如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，，，平面平面，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，由面面垂直的判定即可证明；（2）过作，，垂足分别为，，连接，由几何法可证 即为二面角的平面角，过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，再由向量法求出直线PD与平面PBC所成角即可.【小问1详解】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．【小问2详解】过作，，垂足分别，，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又，且，，平面，所以平面，因为平面，所以，即即为二面角的平面角，不妨设，则可知，且，，因为，所以，所以，过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设直线PD与平面PBC所成角为，则， 即.22.已知函数．（1）若函数在上是单调递增，求实数的取值范围；（2）若对于任意，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明．【答案】（1）（2）；证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得当时恒成立，则，利用导数运算处理；（2）函数在上单调递增，通过作差判断的大小关系，借助导数判断大小．【小问1详解】则由题意可得当时恒成立构建，则当时恒成立∴在上单调递增，当时恒成立则即【小问2详解】构建，则∵且在区间连续则在区间上存在极值点即存在正实数，使得， 即设，，当时恒成立则函数在上单调递增，则，即，则，由（1）可知函数在上单调递增，则，即．