如何理解'计数原理'的定位

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1、1、如何理解‘计数原理’的定位？分类计数问题和分步计数问题是计数的两类最基本的问题。是高中‘计数原理’的主要内容。分类计数原理（加法定理）和分步计数原理（乘法定理）是计数的两个基本原理。要求学生通过大量实例来很好地理解，并能熟练地应用。分步计数原理（乘法定理）的理解与应用，相对来说比较困难。如何能正确地分步，是难点。我们既要学生掌握其基本方法，又应避免做一些偏题、难题。上述两个原理在这里主要是通过排列、组合来体现的。排列、组合有具体的公式，但当我们用排列、组合来解决问题时，还是应该关注这两个原理解决计数问题的思想，而不是简单地套用公式。对排列组合的公式，应尽量给出

2、其计数原理的解释。换句话说，应提倡用计数原理来证明排列组合的公式，而不仅仅是形式上的验证。例如，公式左边是从n个不同的元素中取k个的取法。为了证明这一公式，我们任取其中的一个元素，比如，第一个元素。从n个不同的元素中取k个的取法中，没有取到第一个元素的取法有种，取到第一个元素的取法有种，利用加法原理即得到上述公式。对二项式定理，应提倡用计数原理来证明。因为数学归纳法的证明仅仅是验证。2、乘法定理与加法定理在证明二项式定理中有何作用？二项式定理的证明可以看成是计数原理的一个重要应用。二项式是n个相乘。其乘积的任意一项都是从这n个中的每一个中，选一个a或b相乘得到的积

3、。因此，任意一项都由n个字母相乘而得到，这n个字母的每一个或者是a或者是b。由计数的乘法原理知，一共有项。其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；对于每一项akbn-k，它是由k个（a+b）选了a，n-k个(a+b)选了b得到的积，它出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个a的组合数，即形如的项共有个。由于k的取值是。我们最后得到二项式定理：这是二项式定理的组合证明，它是一个构造性的证明。证明中体现了定理中每一项的意义。在证明方法上也充分展示了计数原理的应用。而数学归纳法的证明仅仅是一个验证。3、高中课程必修部分对概率是如何定位的？为什么在排列、组合

4、前讲概率？在自然科学和社会科学以及当前市场经济中，人们碰到了越来越多的随机现象。对随机现象有一个较清楚的认识，成为每一个公民文化素质的基本要求。这正是高中开设概率课程的基本目的。但是，过去中学的概率课，把重点放在用排列组合计算古典概率上，而忽略了对概率本身的理解。排列组合的题目可以很难，学习的重点变成了如何计数，而不是如何理解随机现象。学生学完后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。在现在的标准中，更强调对随机现象的认识。不仅在中学，大学的统计概率课程也在做调整。在本科教育中，不论是数学还是非数学专业中，有两个大的趋势，一个是统计的比重会大

5、大加强；另一个，在概率课程中，减小古典概型的比重，淡化在古典概型中计数（排列、组合）的难度，强化对随机思想的理解。4、如何理解概率的定义？首先应该明确在数学上概率是用公理化的形式定义的。各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概率定义’都是一些描述性的说法。教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质。概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆，不是中学(甚至也不是大学)数学课程需要讨论的。在这里，谈谈对数学上‘定义’的一些看法。我们不想谈数学中给出定义的必要性，它的作用和意义。每一个数学老师对此都清楚。我们

6、想谈的是相反的一面，也是我们认为有些问题的地方，即过分地追求定义，过分地探究书中的词语，而忽略了对整体精神的把握。对任何一个概念的定义，都需要用到一些词语。而严格说，这些词语仍需要定义。定义这些词语又需要用到另外一些词语。因此，这是一个无限上推、无法完成的任务，除非在某一处停下来。换句话说，必须有一些不加定义的词语，以此为出发点来讨论问题。提出这一点，是希望人们不要迷信定义。有人以为凡是没定义的都是不严格的，只有给出了定义才严格。这种看法是不全面的。其次，有些定义即使有，对许多人来说也是不必要的。大多数科学家并不需要了解实数的理论(实数的严格定义)，大多数数学家也

7、不需要掌握用皮亚诺公理给出的自然数定义。严格表述尽管重要，但数学中最重要的活力来自于它的问题，思想，来自人们的探索，猜想，分析。概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将‘稳定’在一个常数附近。n越大，频率偏离这个常数大的可能性越小。这个常数称为该事件的概率。我们要清楚上述定义只是描述性的。事实上它有循环定义之嫌。因为定义中出现了‘可能性’。这指的就是概率.(类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性’)。你可以设法避免这类词出现，但其本质

8、的意义无法