高二数学竞赛讲座：函数

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1、竞赛讲座27－函数1.函数的基本概念  一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素.  (1)求函数的定义域  例1(1982年西安初中竞赛题)已知函数    求自变量取值范围.  解  -2＜x＜-1，或-1＜x＜0，或0＜x＜2，或2＜x≤3.或者写成-2＜x≤3，且x≠0，2.  例2(1982年大连海运学院研究生招考题)设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，试求f(x+a)+f(x-a)的定义域(a＞0).  解

2、   由  若0＜a＜时,x∈[a,1-a];  若a＞时,函数关系不存在.  (2)关于对应法则  若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则f就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面.  例3(美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式，对所有实数x，f(x2+1)=x4+5x2+3.对所有实数x，求f(x2-1).  分析  若能找到函数的对应法则f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法.  ①配凑法：f(x2+1)=x4+5x2+3  =(x2+1)2+3(x2+1

3、)-1，  ∴f(x)=x2+3x-1，  ∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1  =x4+x2-3.  ②换元法  令  x2+1=t，则x2=t-1.  由f(x2+1)=x4+5x2+3有  f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1  ∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1  =x4+x2-3.  例4  (1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数f(x)=2x(ax2+bx+c)满足等式f(x+1)-f(x)=2x·x2，求a+b+c的值.  解(待定系数法

4、)f(x)=2x(ax2+bx+c)，  f(x+1)=2x+1［a(x+1)2+b(x+1)+c］        =2·2x［(ax2+bx+c)+2ax+a+b］        =2f(x)+2·2x(2ax+a+b)  由f(x+1)-f(x)=2x·x2有  2x(ax2+bx+c)+2·2x［2ax+a+b］=2x·x2，  在上式中，  令x=0得  2a+2b+c=0；①  令x=1得  7a+3b+c=0；②  令x=2得  14a+4b+c=0.③  由①，②，③解出  a=1，b=-4，c=6，  ∴

5、      a+b+c=3.  (3)关于函数方程  这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程.  例5  对于一切实数x，y，函数满足f(x·y)=f(x)·f(y)，且f(0)≠0.求f(1987)和f(1988).  解  ∵f(x·y)=f(x)·f(y)，取y=0，得f(x·0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)·f(0).又f(0)≠0，∴f(x)=1，∴f(1987)=f(1988)=1.  例6  (第32届美国中学生数学竞赛题)

6、函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非零实数x有f(x)+2f=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数(  ).  (A)恰有一个  (B)恰有两个   (C)不存在  (D)有无穷多个，但并非一切非零实数   (E)是一非零实数  解    f(x)+2f=3x.①  以换x得  f+2f(x)=  ②  由①，②两式消去f得3f(x)=-3x，  ∴f(x)=  -x.③  又由f(x)=f(-x)，将③代入得  -x=+x，  即     -2x=0，2-x2=0，  ∴x=±.故应选(B).  (4)求函数

7、值  例7(1986年北京高一竞赛题)  f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986，  求f［-1］.  解  设,则2t+1=,  即2t2+2t=55.  ∴2t5+2t4-53t3-57t+54  =t3(2t2+2t)-53t3-57t+54  =2t3+2t2-2t2-57t+54  =55t-2t2-57t+54  =-2t2-2t+54=-1.  ∴f()=(-1)1986=1.  2.正比便函数、反比便函数及一次函数  例8  (1987年浙江省初中竞赛题)已知y=y1+，其中y1与

8、x成正比例，y2与x成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都为19.求y与变量x的函数关系式.  解  设y1=k1x，y2=(k1，k2均不为零)，  则   y=y1+=k1x+.  将x=2，x=3代入y=y1+得    ∴   y=5x+  例9(1986年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数y=ax+b(a≠0