线性代数课后习题答案

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时间:2017-09-25

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1、线性代数课后题详解第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:相信自己加油(1);(2)(3);(4).解注意看过程解答(1)==(2)(3)(4)2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:耐心成就大业(1)1234;(2)4132;(3)3421;(4)2413;(5)13…24…;(6)13……2.解(1)逆序数为06363(2)逆序数为4:41,43,42,32(3)逆序数为5:32,31,42,41,21(4)逆序数为3:21,41,43(5)逆序数为:321个52,542个72,74,763

2、个…………………2,4,6,…,个(6)逆序数为321个52,542个…………………2,4,6,…,个421个62,642个…………………2,4,6,…,个3.写出四阶行列式中含有因子的项.解由定义知,四阶行列式的一般项为,其中为的逆序数.由于已固定,只能形如□□,即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式:多练习方能成大财(1);(2);(3);(4)解(1)=6363==0(2)=0(3)===(4)===5.证明:(1)=;(2)=;6363(3);(4);(5).证明(1)(2)6363

3、(3)(4)=====(5)用数学归纳法证明6363假设对于阶行列式命题成立,即所以,对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转,依次得,,,证明.证明 同理可证7.计算下列各行列式():6363(1),其中对角线上元素都是,未写出的元素都是0;(2);(3);提示:利用范德蒙德行列式的结果.(4);(5);(6),.解(1)6363()(2)将第一行乘分别加到其余各行,得再将各列都加到第一列上,得(3)从第行开始,第行经过次相邻对换,换到第1行,第行经次对换换到第2行…,经次行交

4、换,得此行列式为范德蒙德行列式6363(4)由此得递推公式:即而得(5)6363=(6)63638.用克莱姆法则解下列方程组:解 (1)63636363(2)()6363.9.有非零解?解,齐次线性方程组有非零解,则即得不难验证,当该齐次线性方程组确有非零解.10.有非零解?解6363齐次线性方程组有非零解,则得不难验证,当时,该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1.已知线性变换:求从变量到变量的线性变换.解由已知:故2.已知两个线性变换求从到的线性变换.解 由已知所以有63633.设,求解4.计算下列乘积

5、:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1)(2)6363(3)(4)(5)(6)5.设,,问:(1)吗?(2)吗?(3)吗?解(1),则(2)但故(3)而6363故6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若,则;(2)若,则或;(3)若,且,则.解(1) 取,但(2) 取,但且(3) 取且但7.设,求.解利用数学归纳法证明:当时,显然成立,假设时成立,则时由数学归纳法原理知:8.设,求.解首先观察6363由此推测用数学归纳法证明:当时,显然成立.假设时成立,则时,由数学归纳法原理知:9.设为阶矩阵,且为对

6、称矩阵,证明也是对称矩阵.证明  已知:则从而也是对称矩阵.10.设都是阶对称矩阵,证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明  由已知:充分性:即是对称矩阵.必要性:.11.求下列矩阵的逆矩阵:(1);(2);(3);6363(4); (5);(6)解(1)故(2)故存在从而(3),故存在而故(4)6363故(5)故存在而从而(6)由对角矩阵的性质知12.解下列矩阵方程:(1) ;(2) ;6363(3) ;(4) .解(1) (2) (3) (4) 13.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)(2)解  (1) 方程组可表示

7、为故6363从而有(2)方程组可表示为故故有14.设(为正整数),证明.证明  一方面,另一方面,由有故 两端同时右乘就有15.设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证明  由得两端同时取行列式:即 ,故 所以可逆,而故也可逆.由又由636316.设,,求.解  由可得故17.设,其中,,求.解  故所以而故18.设次多项式,记称为方阵的次多项式.(1)设,证明:,;(2)设,证明:,.证明(1)i)利用数学归纳法.当时命题成立,假设时成立,则时故命题成立.ii)左边6363=右边(2) i) 利用数学归纳法.当时成立假设

8、时成立,则时成立,故命题成立,即ii)证明右边=左边19.设阶矩阵的伴随矩阵为,证明:(1) 若,则;(2) .证明(1) 用反证法证明.假设则有由此得这与矛盾,故当时有(2) 由于,则取行列式得到:若则若由(1)知此时命题也成立故有20.取,验证检验:而 6363故 21.设,求及解 ,令则故22.设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求.解

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