两条直线所成的角

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1、两条直线所成的角 一、教学目标(一)知识教学点一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式,能熟练运用公式解题.(二)能力训练点通过课题的引入,训练学生由特殊到一般,定性、定量逐层深入研究问题的思想方法;通过公式的推导,培养学生综合运用知识解决问题的能力.(三)学科渗透点训练学生由特殊到一般,定性、定量逐步深入地研究问题的习惯.二、教材分析1.重点:前面研究了两条直线平行与垂直,本课时是对两直线相交的情况作定量的研究.两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到,教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公

2、式的应用.2,难点:公式的记忆与应用.3.疑点:推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据.三、活动设计分析、启发、讲练结合.四、教学过程(一)引入新课我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况,对于两条相交直线,怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题.(二)l1到l2的角正切两条直线l1和l2相交构成四个角,它们是两对对顶角.为了区别这些角,我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角.图1-27中,直线l1到l2的角是θ1,l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°).l1到l2

3、的角有三个要点:始边、终边和旋转方向.现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角,设已知直线的方程分别是l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0,那么θ=90°,下面研究1+k1k2≠0的情形.由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题.设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32),甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角;乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角.tgα1=k1, tgα2=k2.∵θ

4、=α2-α1(图1-32),或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1),∴tgθ=tg(α2-α1).或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1).可得即eqx()上面的关系记忆时,可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆.(三)夹角公式从一条直线到另一条直线的角,可能不大于直角,也可能大于直角,但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了,这时可以用下面的公式(四)例题解:k1=-2,k2=1.∴θ=arctg3≈71°34′.本例题用来熟悉夹角公式.例2 已知直线l1: A1x+B1

5、y+C1=0和l2: A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0),l1到l2的角是θ,求证:证明:设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角.例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0,底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在直线l3的方程.解:先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰的顺序无关.设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3,l1到l2的角是θ1,l

6、2到l3的角是θ2,则.因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形,所以θ1=θ2.tgθ2=tgθ1=-3.解得 k3=2.因为l3经过点(-2,0),斜率为2,写出点斜式为y=2[x-(-2)],即 2x-y+4=0.这就是直线l3的方程.讲此例题时,一定要说明:无须作图,任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等,要为锐角都为锐角,要为钝角都为钝角.(五)课后小结(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念;(2)l1到l2的角的正切公式;(3)l1与l2的夹角的正切公式;(4)等腰三角形中,一腰所在直线到底面所在直线的角,等于

7、底边所在直线到另一腰所在直线的角.五、布置作业1.(教材第32页,1.8练习第1题)求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角:∴θ1=45°.l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3.2.(教材第32页,1.8练习第2题)求下列直线的夹角:∵k1·k2=-1,∴l1与l2的夹角是90°.(2)k1=1, k2=0.两直线的夹角为45°.∴l1与l2的夹角是90°.3.(习题三第10题)已知直线l经过点P(2,1),且和直线5x+2y+3=0的夹角为45o,求直线l的方程.即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0.4.等腰三角形一腰

8、所在的直线l1的方程是2x-y+4=0,底面所在的直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在的直线l3的方程.解:这是本课例3将l1与l3互换的变形题,解法与例3相同,所求方程为:

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