浅谈数形结合在数学中的应用

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1、数学教学中“数形结合”的应用梅江区城西职业中学熊英豪现代数学教学的主要目的和任务早已不再是简单的知识和方法传授，而是通过数学教学在传授知识与方法的同时培养学生的数学素质。而数学思想方法又是数学素质的精髓与灵魂，是数学学习的核心。因此，掌握数学的思想和方法是学好数学的必要条件，它象一把“万能钥匙”，可以打开诸多问题的大门。在教学实践中，我们常常很深切地体会到：数形结合既是一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法。华罗庚就曾写过这样一首描写数形结合的诗：数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。几何代

2、数统一体，永远联系莫分离。这首诗，非常形象地告诉我们：在研究数学问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，可以把几何图形转化为数量关系问题，运用代数三角知识进行讨论，或者把数量关系转化为图形性质问题，借助几何知识加以解决。因此，在数学教学中重视运用数形结合的方法，借助图形的形象、直观，研究数学问题，不仅为学生提供了一种简洁的解题方法，而且也有助于学生加深对数学知识的认识。本文就数形结合在教学中的应用作一个简单的探讨。一、运用数形结合进行函数教学。1xy数形结合是中学数学思想中的重要数学思想之一，渗透于数学的各个环节之中。在函数教学中，函数及其图象为数形结

3、合的教学开辟了广阔的天地。函数的图象是从“形”的角度反映变量之间的变化规律，利用图象的直观性有助于题意的理解、性质的讨论、思路的探求和结果的验证。如二次函数、指数函数和对数函数等等，根据函数图象讨论函数的性质，借助函数图象的直观解决实际问题，使学生学得轻松有趣。既可以提高学生的识记能力，又可以加深对函数的图象和性质的理解，使数与形在学生的头脑中密切地结合起来。如：例：判断下式中x的正负2x=1.2分析：考察指数函数y=2x，因a=2>1，在定义域(-¥，+¥)上是增函数，故画出草图，o从图中可知，该函数在区间(0，+¥)上有y>1。因此，从2x=1.2

4、>1可知x>0。在数形结合思想启发下，运用抽象函数图象化，模型化策略，作出函数的图象，则问题原形显露了。通过数形结合的方法，分析解决这类问题，可以极大地提高学生分析问题、解决问题的能力。当然，数学教材内容中的数轴、向量、复数、三角和圆锥曲线等知识，以及一些几何问题的代数解法，这些都是进行数形结合教学的基本素材。充分运用好这些内容进行教学，使数形结合的方法经常存在于学生的思维活动中，可以在学生头脑中形成良好的数形结合的思想。二、运用数形结合，发挥学生的形象思维。人们认识客观世界时，面对抽象的事物，总是积极地寻找具体的、形象的认识途径，以期达到洞悉抽象事物

5、的目的。可以说，形象与抽象是矛盾的两个方面。在研究抽象的数学问题时，形象思维又是处理数学问题的一种重要思维形式，特别是在解析几何及其函数研究中用途很广。教学中，如果注意引导学生把抽象问题同相应的感性材料联系起来，给予具体、直观、形象的数学模型，并通过对这些模型的研究分析，就能巧妙地解决问题。这种数形结合的思想方法，对发展学生的形象思维是极其有利的。例：已知函数y=ú4-xúx的图象大致是（）yyyyo4xo4xoxo4x4(A)(B)(C)(D)分析:此题若用直接法进行选择,一般先将函数分段表示,然后画出简图获得答案。其解题思维过程是聚合性思维，没有充

6、分利用已知图象。如能把数与形结合起来考虑，即把函数式与所给函数图象结合起来分析易知：当x<0时，图象位于x轴下方；当x=0时，对应点在原点；当x>0时，图象应位于x轴上方。所以很容易作出正确选择。可见，数形结合的方法发展学生的形象思维，能更深刻地理解数学概念，使抽象的数学问题直观、形象化、易接受。而且对数形结合有了较为深刻的认识，在潜移默化中，学生会逐渐地养成运用数形结合思想解题的习惯。三、数形结合在解题中的应用。利用数形结合进行解题，它不仅将优美的下题解过程形象地展现在解题者的面前，而且给解题者带来层次分明的思维训练而回味无穷，使学生产生一种奇异的感

7、觉，消除一部分学生因数学的抽象性而产生的畏惧、厌烦情绪，从而产生对数学的兴趣。教学时，要引导学生从充分利用形的直观性来揭示数不学问题的本质属性；由形思数，利用数研究形的各种性质，寻找运动规律；数形结合，促进矛盾顺利转化，创造条件使对立双方达到统一。这样，有利于培养学生多角度、多方面的思考习惯，有助于训练学生思维的灵活性、广阔性、创造性和辩证性，提高学生解决问题的能力和创新能力。1、以形辅数，较直观、快捷。某些看似单纯的数量关系的代数问题，如果能注意到它所包含的几何意义，或者设计出一个与之相关的几何模型则可能找到新颖别致的解法，借助“形”使我们对问题本身

8、不但有直观的分析，且能有更深刻和实质的了解。例1、已知3x-4y+4=0，求：2z=+的最小值