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《【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题基础巩固强化1.(2012·沈阳市二模)在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,AD=2AB,若P是平面ABCD内一点,且满足x+y+=0(x,y∈R),则当点P在以A为圆心,
2、
3、为半径的圆上时,实数x,y应满足关系式为( )A.4x2+y2+2xy=1 B.4x2+y2-2xy=1C.x2+4y2-2xy=1D.x2+4y2+2xy=1[答案] D[解析] ∵x+y+=0,∴=x+y,∵AD=2AB,∠BAD=60°,∴BD=AB,∴
4、
5、=
6、
7、=
8、
9、
10、,∴
11、
12、2=(x+y)2=x2
13、
14、2+y2
15、
16、2+2xy··=x2
17、
18、2+4y2
19、
20、2+2xy·
21、
22、·
23、
24、·cos60°=(x2+4y2+2xy)
25、
26、2,∴x2+4y2+2xy=1,故选D.2.(2012·河北郑口中学模拟)已知P是△ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 如图,+==2,∵++2=0,∴+=0,∴P为AD的中点,14∴所求概率为P==.3.在△ABC中,(+)·=
27、
28、2,则三角形
29、ABC的形状一定是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形[答案] C[解析] 由条件知
30、
31、2=(+)·(-)=
32、
33、2-
34、
35、2,∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC为直角三角形.4.(2012·郑州六校质检)已知a、b为非零向量,m=a+tb(t∈R),若
36、a
37、=1,
38、b
39、=2,当且仅当t=时,
40、m
41、取得最小值,则向量a、b的夹角为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] ∵m=a+tb,
42、a
43、=1,
44、b
45、=2,令向量a、b的夹角为θ,∴
46、m
47、=
48、a+tb
49、===.又
50、∵当且仅当t=时,
51、m
52、最小,即+=0,∴cosθ=-,∴θ=.故选C.145.(文)(2011·河南质量调研)直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M、N,若c2=a2+b2,则·(O为坐标原点)等于( )A.-7B.-14C.7D.14[答案] A[解析] 记、的夹角为2θ.依题意得,圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于=1,∴cosθ=,∴cos2θ=2cos2θ-1=2×()2-1=-,∴·=3×3cos2θ=-7,选A.(理)设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦
53、点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,·的值等于( )A.0 B.2 C.4 D.-2[答案] D[解析] 由题意得c==,又S四边形PF1QF2=2S△PF1F2=2××F1F2·h (h为F1F2边上的高),所以当h=b=1时,S四边形PF1QF2取最大值,此时∠F1PF2=120°.所以·=
54、
55、·
56、
57、·cos120°=2×2×(-)=-2.6.如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,且O是△ABC的外心,则·=( )A.6
58、 B.-6 C.8 D.-814[答案] D[解析] ∵AB2=AC2+BC2,∴∠ACB为直角,∵O为△ABC外心,∴·=-·=-(+)·=-
59、
60、2-·=-8.7.(文)(2011·佛山二检)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为CD的中点,则·=________.[答案] 1[解析] 以A为原点,AB所在的直线为x轴,过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.由题设条件得A(0,0)、B(2,0)、E(2,)、D(1,),∴·=1.(理)(2012·宁夏三
61、市联考)在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,则·=________.14[答案] -[解析] ·=(+)·(+)=·+·+·+·=-.8.(2011·河北玉田一中质检)已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为________.[答案] t≥5[解析] 由题意知,f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,
62、1)上是增函数,则f′(x)≥0在(-1,1)上恒成立⇔t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立,令g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=、开口向上的抛物线,故要使t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立,必有t≥g(-1)成立,即t≥5成立.故使f(x)在(-1,1)上是增函数的t的取值范围是t≥5.9.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值为________.[答案]
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