数分选讲讲稿第14讲new

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1、讲授内容备注第十四讲4、用求极值的方法证明不等式要证明，只要求函数的极值，证明．例4　设，为任一常数．试证：　　　　　　　　　　　　　　（）．　　证　设　　　　　（）得的唯一稳定点　当时，；当时，．　　　　　　　　　　　　　　．例5设为自然数，试证：．证　原不等式等价于只要证明．令，得稳定点，（满足）3学时11则的可能极值点为，．但，　　　　　　　　　　　　　　　　而，由此得　　　　．5、利用单调极限证明不等式若时，（严），且时，，则（）或（）．对于递减或严格递减的情况，有类似的结论．例6证明：，时，．证　当或时，不等式成立．只需证明，，的情况．为此，只需证

2、明：当时，单调增，趋于即可．事实上，当，，时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11　　　　　　　　．因为单调增，而与单调性同，所以单调增．．即当时，单调增趋于．例7证明：集合有最小值，并求最小值．　　证　　不等式　，等价于　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　．所以等价于是的上界（）．按确界定义，即．　　　由不等式知因为严，即11所以．　　二、凸函数　　凸函数的几种定义以及它们的关系定义1设函数在区间上有定义，在上称为是凸函数，当且仅当，，有注中改成，则是严格凸函数的定义．　　　中改成或，则分别是凹函数与严格凹函数的定义．由于凸

3、与凹是对偶的概念，对凸函数有什么结论，对凹函数亦有相应的结论．所以只讨论凸函数．　　　几何意义．　定义2设函数在区间上有定义，在上称为是凸函数，当且仅当，有定义3设函数在区间上有定义，在上称为是凸函数，当且仅当，有是介于之间的值是介于之间的值11定义4设函数在区间上有定义，当且仅当曲线的切线，恒保持在曲线以下，则称为凸函数．若除切点之外，切线严格保持在曲线的下方，则称为严格凸函数．注定义2、定义3是等价的．　　当连续时，定义1、定义2、定义3是等价的．　　当处处可导时，定义1、2、3、4是等价的．常用凸函数的结论：1、开区间内的凸函数为连续函数；2、凸函数在

4、每点处有左、右导数；3、若在区间上有二阶导数，则在上为凸（严格凸）函数的充要条件是：．4、为上的凸函数的充要条件是：对上任意三点，总有例8设函数在区间上为凸函数．试证：在的任一闭子区间上有界．　　证　设为任意一闭子区间连接两点弦的斜率的比较图示11证明在上有上界．，取，则．由为凸函数　　　　　　　其中，即在上有上界．　　证明在上有下界．　　记为的中点，则，有关于点的对称点，由为凸函数从而．即在上以为下界．综合、知，在上有界．例9设为区间内的凸函数．试证：在内的任一闭子区间上满足Lipschitz条件．证　因为，故可取充分小，使得于是，若，取，由为凸函数其中分

5、别是在上的上、下确界．从而　　　　　　　　　　　　　　(1)11若，取，由为凸函数，有　　　　　　　　　　　　　　(2)若，则成立．所以，对，(1)式均成立．当与交换时，(1)式也应成立．故有　　　　令，则．　　注　本例说明，在开区间内的凸函数，必内闭一致连续，从而得出连续性．例10设，在上为非负的严格凸函数，．试证：，为严格递增的．证　因为在上为严格凸，所以，且，有．，且，　　　　　　　　　　　　　　　所以当时，严格递增．11因为非负，所以，有．下证．若在某点，使得，则，使得（否则，与严格凸矛盾）．，与严格凸矛盾．所以，必有．　　，有即．于是在上为严格递增

6、的．例11设在上二次可微，对上每个，与同号或同时为零．又在的任何子区间内不恒为零．试证：在内如果有根，则必唯一．　证（反证法）设在内有二个相异的实根，不妨设因为在上连续，存在最大值最小值，但．所以最大、最小值至少有一个在内部达到（否则与题设矛盾）．设在处，有最大值．由连续函数的局部保号性，，使得　　　　　　　　　　　　　　由题设　　　　　　　　　　　　11所以为严格凸函数．又因为，可取足够大，使得当时，．于是，使得（为最大值）．记关于的对称点为，有．从而　　　　与的凸性矛盾．　　对于在内部达到最小值，类似可证．例12设在区间内为凸函数，且有界．试证：极限与存

7、在．　　证　，，为常数．　　为内任意三点，由的凸性当单调增加时，单调增加．　　又因为　　　　　　所以有界．据单调有界定理，存在极限．从而　　　　　　　　　　　　．11所以存在．同理可证存在．例13　设函数在区间上有定义，则为凸函数的充要条件是：，实数，使得对，有其中表示的全体内点组成的集合．　　证　必要性　因为为凸函数，，存在，且单调增趋于，由此，任取一点，则当时，有所以．　　同理，当取，则当时，有所以．因为，所以对，只要满足，恒有．　　充分性　设是区间上任意三点，由已知条件，对，，使得此时单调减趋于11　　　　　　　　　　令，　　　，　，　　　，所以时，所

8、以为凸函数．11