构建“反比”模型，解决实际问题.doc

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1、构建“反比”模型，解决实际问题六神中学升华法国著名数学家笛卡儿说过：“我们所解决的每一个问题，将成为一个模式，以用于解决其他问题.”《初中数学课程标准》（2011年版）提出：“重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”.同样，我们学习反比例函数的目的，就是要建立其一个模型，用于解决实际问题.本文以近几年中考试题为例，加以分类说明.一、跨学科知识型V（m3）O（4, 2）图124P(kg/m3)例1（2010年綦江）有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二

2、氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度p(单位,kg/m3)是v(单位,m3)的反比例函数,它的图象如图1所示,,当v=2m3时,气体的密度是kg/m3.分析由图象知，p和v是变量，质量m为常量，所以m=pv.解：m=pv.=4×2=8(kg),所以p=(v＞0).当v=2m3时,气体的密度是p===4（kg/m3）.所以，填4kg/m3.点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础.本题是以质量、密度和体积的知识为背景建模，用数学模型解释物理量之间

3、的关系浅显易懂，同时还注意了跨学科间的综合.二、药物释放为型例2（2012年攀枝花）据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧和释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图2所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害

4、作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？图2析解：首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．（1）设反比例函数解析式为y=，将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，则函数解析式为y=（x≥15），将y=10代入解析式得，10=，x=15，故A（15，10）.设正比例函数解析式为y=nx，将A（15，10）代入上式即可求出n的值，n==，则正比

5、例函数解析式为y=x（0≤x≤15）．（2）=2，解之得x=75（分钟），答：从药物释放开始，师生至少在75分钟内不能进入教室．点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．学会把实际问题转化为数学问题，生活中处处有数学，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理.三、医药疗效型例3（2010广东湛江）病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含量达到归大值为4毫克。已知

6、服药后，2小时前每毫升血液中的含量y（毫克）与时间x（小时）成正比例；2小时后y与x成反比例（如图3所示）。根据以上信息解答下列问题：(1).求当时，y与x的函数关系式；(2).求当时，y与x的函数关系式；(3).若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？图3析解：(1)当时，设函数解析式为，由题意，得，解得.∴当时，函数解析式为(2)当时，设函数解析式为，由题意，得，解得∴当时，函数解析式为.(3)把y=2代入y=2x中，得x=1把y=2代入中,得x=4，∴4－1＝3（小时

7、）.答：服药一次，治疗疾病的有效时间是3小时.点评：以药物疗效为载体，将正比例函数与反比例函数有机地结合起来，解决实际问题，还向学生渗透了药理方面的知识.四、安全事故型例4（2010年四川达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图4，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时

8、间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?图4析解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函