2.实数系的基本定理

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1、第二讲实数系的连续性——实数系的基本定理自从Newton,Leibniz建立微积分以来，它在解决实际问题上的正确性与在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代的数学家，不少人对微积分理论产生过怀疑，直到Cauchy,Weierstrass建立了极限论的严格基础，人类科学史上最辉煌的成就之一——微积分理论的大厦才得以牢固建立。作为极限论的出发点，实数系的基本定理——实数系的连续性，在数学分析课程中占有重要的地位。实数系的基本定理有多种表达方式：Dedkind切割定理，确界存在定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，Bolza

2、no-Weierstrass定理，Cauchy收敛原理和Heine-Borel定理。这些定理是等价的，其中每一个都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。传统的教材常采用Dedkind切割定理作为实数系连续性定理，并由此出发导出极限论的全部理论。但由于Dedkind切割定理过分抽象，Heine-Borel定理则需要用到紧集的概念，这对初学数学分析的大学一年级学生来说是难以接受的，而将实数连续性作为一个公理加以承认又使人感到极限理论不够完备。我们则采用对学生来说非常熟悉的实数的无限小数表示方法，直观而简明地证明了确界存在

3、定理，既使得学生容易掌握，又使得教材的极限理论得以完备化。至于Heine-Borel定理，我们则将这部分内容放到讲多元函数微积分时讨论，这样分散了教学的难点，取得了良好的教学效果。通过教学，要求使学生了解人类对数的认识的发展历史；对实数系的连续性不仅仅从几何上理解，还要从分析上掌握如何加以证明；并认识正是由于实数系的连续性，才使它成为整个数学分析课程的“活动舞台”。定理1有上界的非空数集必有上确界；有下界的非空数集必有下确界。证任何一个实数x可表示成x=［x］+(x)，其中［x］表示x的整数部分，(x)表示x的非负小数部分

4、。将(x)表示成无限小数的形式：(x)=0.aa""a,12n其中aa，，，，"a"中的每一个都是数字0，1，2，…，9中的一个。若(x)12n是有限小数，则在后面接上无限个0。注意无限小数0.aa""a000(a≠0)与12pp无限小数0.()aa"a−1999"是相等的，为了保持表示的唯一性，我们约定在(x)12p的无限小数表示中不出现后者。这样，任何一个实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示：｛a+.0aa"a"｜a=［x］，0.aa""a=(x),x∈S｝。012n012n通过下述方法来找出数集的上确界：

5、设数集S有上界，则可令S中元素的整数部分的最大者为α(α一定存在，否则的话，S就不可能有上界)，并记007S=∈{

6、xxS并且[]x=α}。00显然S不是空集，并且∀x∈S，只要x∉S，就有x<α。000再考察数集S中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，令它们中最大0的为α，并记1S=∈{

7、xxS并且的第一位小数为xα}。101显然S也不是空集，并且∀x∈S，只要x∉S，就有x<α+0.α。1101一般地，考察数集S中元素的无限小数表示中第n位小数的数字，令它们n−1中最大的为α，并记nS=∈{

8、xxS并且的第位小数为x

9、nα}。nnn−1显然S也不是空集，并且∀x∈S，只要xS∉，就有x<α+0.αα…α。nn012n不断地做下去，我们得到一列非空数集S⊃S⊃S⊃…⊃S⊃…，和一列01n数α，α，α，…，α,…，满足012nα∈Z；0α∈｛0,1,2,…，9},∀k∈N。k令β=α+0.αα…α…，012n这就是我们要找的数集的上确界。S分两步证明β就是数集S的上确界。（a）∀∈xS，或者存在整数n≥0，使得xS∉；或者对任何整数n≥0，0n0有xS∈。若xS∉,便有nn0x<α+0.αα…α≤β。012n0若xS∈(∀∈nN∪{}0)，

10、由S的定义并逐位比较x与β的整数部分与每一个小nn数位上的数字，即知x=β。所以∀xS∈，有x≤β，即β是数集S的上界。8（b）∀ε>0，只要将自然数n取得充分大，便有01<ε。10n0取xS∈，则β与x的整数部分及前n位小数是相同的，所以0n0001β−x≤<ε，010n0即x>β−ε0即任何小于β的数β−ε不是数集的上界。S注意，由于学生初学微积分，对极限论的抽象概念不易接受，应该在讲课中突出几何直观。若实数系在数轴上有“空隙”，则从几何上容易理解：位于空隙左边的实数集合没有上确界，位于空隙右边的实数集合没有下确界。通

11、过讲课，还要让学生了解实数系的连续性有多种等价的表达形式，这些等价的定理贯穿于极限论的整个理论，构成了极限论最基本、最丰富的内容。单调有界数列收敛定理定理2单调有界数列必定收敛。在按极限定义证明一个数列收敛时，都必须先知道它的极限是什么。这个要求对于许多实际情况来说并不现实，因为一个数列即使收敛，其极限