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1、习题二2-1已知y=f(x)的数值如下:(1)x0123y2312147⑵x・2・101y154524求Lagrange插值多项式并写出截断误差。解：（［）乙3（兀）=（X_X］）（X_X2）（X_X3）/（勺）+（X-Xo）（X-X2）（X—X3）3（兀（）一X］）（”o—兀2）（工0一开3）°（心__兀2）（可_工3）I（兀一尤0）（尤一山）0¥—兀3）（七_工（））（尢2_工
2、）（兀2_尤3）（■¥-"））（兀-兀］）（尤-兀2）（尤3一勺）（尤3_山）（尤3_尤2）/（£）(x-l)(x-2)(x-5)x(x-2)(x-5)心一1)匕一5)x(x-l)(x-2)~(-1)(-2)
3、(-5)(1-2)(!-5)2(2-1)(2-5)5(5-1)(5-2)=—x+2R3(x)=丄x(x-l)(x-2)(x-5)f⑷©,0vfv5(x-xl)(x-x2)(x-x3)⑵b⑴=(—:g)+(―。广七竽7)伽)(勺-Xj)(xo-x2)(xo-x3)U1-勺)(%!-x2)(“-).(x-XgXx-XiXx-x^rz―(x-x())(x-xl)(x-x2)+/(兀2丿'(兀2-“))(邑一小)(兀2一兀3)(兀3一M))(兀3一小)(兀3-兀2)=(尤+1)兀(兀一1)0¥+2)尢(兀一1)(x+2)(x+l)(x-l)Cy+2)(x+l)x?4一(-2+1)(-2)(-2-
4、1)(—1+2)(—1)(—1-1)2H)(1+2)(1+1)=x3+9x2+9x+5/（七）+/g)2(-1)R3(x)=扑+2)(X2-l)xf⑷©,-2v§v12-2已知函数lnx的如X8101214y2.079442.302592.484912.63906试分别用Lagrange线性插值和二次插值计算ln（l1.85）的近似值，并估计它的截断误差。解：线性插值公式：厶（x）=―兀0当x=11.85时,厶(11.85)=Z2%2.30259+10-12X~1QX2.48491=2.4712412-10(11.85-10)(1L85-12)<1.3875X10*3心二第:二严)+爲:
5、;髭严心二:::二宀0.15X2.15~~2x4x2.30259+1.85(—0」5)4x2x2.63906=2.47221误差估计:R,(x)<丄x(11.85-10)(11.85-12)(11.85-14)<1.98875xl0~4o〜3兀32-3设兀°，兀1，…，兀”为任意给定的n+1个互不相同的节点，证明:(1)若f(x)为不高于n次的多项式，则f(x)关于这组节点的n次插值多项式就是它自己。⑵若l^x)(/=0,1,•••,/!)是关于这组节点的Lagrange基函数，则有恒等式工#7,(兀)三*,k=0,1,•••,/?/=
6、£厶(兀)(兀一汀=0,=0,1,•••,/?匸1
7、证明:S+i)()R(x)=fx)-Pn(x)=(n+1)!因为f(x)是n次多项式，所以它的n+1阶导数为零。故f(x)关于这组节点的n次插值多项式就是它自己。(2)取f(x)=xk,k=0,l,…,n,在x(),兀［，…，兀处进行n次拉格朗日插值,贝I」有二代⑴+&©)=$厶(兀)XX：+/=0(n+1)(/?+!)!由于广⑷©=0,故冇£兀仏(兀)三戏，k=0,l,・・・/。J=o⑶将(Xj-x)k按二项式展开，得(厂-兀)k工(-1)_CZ厂,/=()£(勺-^)k/jM=XJ=oj=o£(-1)4尸/=0丿i=07=0由上题的结论得:=》(-1)4十"为(_i)「c；=0
8、o/=0/=02-4已知函数表X0.10.20.40.60.9y0.99500.98010.92110.82530.6216试构造四次Newton插值多项式，计算cos0.47的近似值并估计截断误差。解:自变量函数值一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.10.99500.20.9801-0.1490.40.9211-0.295-0.48670.60.8253-0.479-0.460.05340.90.6216-0.679-0.40.08570.040375P4(x)=0.9950-0.149(x-0.1)04867(x01)(x-0.2)+0.0534(x-0.1)(x-0.2)(x-0.
9、4)+0.040375(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)当x=0.47时,P4(x)=0.8916
10、R2(x)
11、12、/?2(x)
13、<丄x(0.47-0.l)(0.47-0.2)(0.47-0.4)(0.47-0.6)(0.47-0.9)53.2576x1()"2-5
