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《数值方法第9章常微分方程数值解(下)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§3单步法的收敛性和绝对稳定性(I)收敛性几+i=几+%(£,儿;力解出:儿必…,几数值求解微分方程初值问题解y(x),总是要求儿是y⑴的近似,对于Eulei•方法,我们推导了整体截断误差。耳=)心“)一儿满足y(兀J—几
2、sc/z当/7T0时,有儿Ty(£),我们注意到这个极限与通常不同。R中点xn=勺+nh应该是不动的,当力T0时必有兄T8,如果用x=x0+nh那么这个极限过程当力TO,"Too是同时的,而x=x.+nh仍固定,这样的极限可以记为limF(h,n)〃tOx=xQ^-nh并称其为固定态极限(fixedstationlimit)例
3、如:lim(1+/?)"=limew+hr=lim严删"TO力TO力TOx=XQ+nhx=jq)+〃/ix=xQ^-nh.乜吠1+力)=limehhTOln(l+〃)lim严心〃tOlim力TOx=x0+nh另一种情况.汕(1+d)・ln(l+dflimen=limen/I—>OOZ?—>oo二严W二严[y'=f(x,y)定义设初值问题{/,/(兀,刃对y满足[y(x0)=a^Lipschitz条件,如果单步方法(*)几+】二儿;力得到的解儿,对任xg[x0,/?],x=x0+nh,均有何儿=yM力tOx=Xq^hIi则称单步法是收敛的由收敛性可
4、以推得,对于xn=x04-nh整体截断误差色=刃£)一儿to(/?to)关于收敛性有:定理若初值问题才=/(兀,刃,丿(兀0)=)‘0的一个单步方法儿+严儿+力0(£,儿;/0的局部截断误差为O刖)(P>1),旳=);(兀)精确成立,并且0对y有Lipschitz条件:
5、0(x,y;/2)—0(兀,幵/训5厶卜一刃,R=>单步法收敛并有)心“)-儿=O(hp)证明根据收敛定义兀=兀+nhy(x)—儿t0(当力t0)因此必须估计y(x)—儿事实上,兀仍为即估计仿Euler方法中整体截断误差的推导,对以插入项,引入局部截断误差,局部截断误差有Tn+i
6、=yg)-丿(£)-h0(百,心);防由定理条件Tn+l=O(hp+i)£”+】=)(£+J一儿+i=y(£+J-g”)+力0(暫,y(xn);h))+(y(£)+力0(兀,『(£);%))一几+】二y(£+i)-[)5)+h0(兀“,y(£);/0]+[心)+h心,y(H-(儿+h0(暫,儿;/?))陥15卜(£+J-[y(忑)+h0(捡,y(£);h)]+卜(£)+h0(兀,y(xn)h)-儿一h(/>(xn,yn;h)7、^
8、ef]9、{10、匕』}=[1+(1+/?L)]C/严+(1+hL『en_2这样递推下去有匕15[1+(1+力厶)+•••+(1+hL)“]Chl)+l+(1+hLf
11、e0
12、取yQ=y(xQ)9则有(l+hL)n
13、^o
14、=O,并且1+(1+也)+...+(1+肚严=(1+M)"-1=(1+M)"-1(1+庞)-1hL1+(1+/?厶)+..・+(1+也)"_=(1+力厶)_1(1+/?L)-1(1+力厶)"一1_hL(1+hL/<(1+L),l"f)厶(b-必)_i=>£”<-C/zp+,=ChpnhL
15、nlim儿=y(x“),V£=x0+nh〃tO并有en(X,y;/?)=/(%,y)由于/对y满足Lipschitz条件=>0(x,yh)对y也满足Lipschitz条件。应用定,理知Euler方法收敛。Runge-Kutta方法,对R=2的改进Euler方法。h=>;+-[/(兀,儿)+/(暫+h,yn+hj(兀”,儿))]臨严0(巧0(无,y;h)=^[f(x9y)+/(x+h,y+hf(x,y))]0(x,y;/?)一0(x,y;/?)
16、<^-
17、/(x,y)一
18、/(x,y)+*
19、/(x+/z,y+/?/(x,y))—/(兀+/i,歹+hfgy))
20、21、=L
22、y-y
23、+^/i
24、/(x,y)-/(x,y)
25、SL
26、y-7
27、+-yL
28、y-y
29、=L(l+^)
30、y-y
31、hI假定步长h32、;xo'K"u2dgOHsv・:7」!wqemjlyI(€£+W-盘+