高数第十章10-习题课.pdf

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1、一、主要内容第十章微分方程习题课（一）基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程习题课(一)叫微分方程．一阶微分方程的解法及应用微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．一、主要内容微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．二、典型例题通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.（二）一

2、阶微分方程的解法初值问题求微分方程满足初始条件的解的问1．可分离变量的微分方程题，叫初值问题．形如g()ydyfxdx()yf(x,y)初始条件解法g(y)dyf(x)dx一阶初值问题:dyyyxx0y02．齐次方程形如f()dxxy解法作变量代换uyf(x,y,y)x二阶初值问题:初始条件dxxxyy,yy形如f()vxx00xx00dyyydy(2)线性非齐次方程P(x)yQ(x).(常数变易法)３．线性方程dxP()xdxdy

3、关于未知函数yy,都是一次的作变换yuxe()1)P()xyQx()dxP(x)dxu(x)Q(x)edxC,当Q(x)0,上方程称为齐次的.一阶线性非齐次微分方程当Q(x)0,上方程称为非齐次的.dydyP(x)yQ(x)P(x)yQ(x).一阶线性微分方程的解法:dxdx的通解为:dy(1)线性齐次方程P(x)y0.(使用分离变量法)Pxdx()Pxdx()dxye[()QxedxC]Pxdx()C齐次方程的通解为yCe()Ce1

4、Pxdx()Pxdx()Pxdx()CeeQxe()dx对应齐次非齐次方程特解(C=0)方程通解1４．伯努利方程dx2)RyxSy()()的通解为:dy伯努利(Bernoulli)方程的标准形式Rydy()Rydy()dynxe[()SyedyC]P(x)yQ(x)y(n0,1)dx(或用常数变易法)当n0,1时，方程为线性微分方程.当n0,1时，方程为非线性微分方程.1n解法:变量代换化为线性微分方程:令zy,1n求出通解后，将zy代入即得1nyz

5、(1nPxdx)()(1nPxdx)()eQ(()(1xn)edxC).５．全微分方程及其求法解齐次方程、贝努利方程都用的是变量代换，事实上，有很多微分方程都要用到变量代换，只是变量1）定义:若有全微分形式代换灵活多样要根据具体的题目选择代换对象。ydux(,)yMx(,)ydxNx(,)ydy全微分方程1.齐次方程yf()令yxu;x或恰当方程则MxydxNxydy(,)(,)0P(x)dx2.线性非齐次方程令yu(x)e;MN全微分方程.1n

6、yx3.伯努利方程令yz;2）解法:６．积分因子法Mx(,)ydxNx(,)ydy0全微分方程定义:(x,y)0连续可微函数，使方程(,)(,)xyMxydx(,)(,)xyNxydy0成为应用曲线积分与路径无关.全微分方程.则称(x,y)为方程的积分因子.xy通解为uxy(,)Mxydx(,)Nxydy(,)0xy001）公式法:1MNyx()f(x)f(x)dxN(,)xydyMx(,),y0dxu(x,y)C;Nyx(x)e.

7、yx001NMg(y)dy用直接凑全微分的方法.()g(y)(y)e.Mxy不定积分法22）观察法:凭观察凑微分得到(x,y)二、典型例题1111xy可选用的积分因子有,2,22,22,2,2等.（一）一阶微分方程求解xyxxyxyyx常用微分倒推公式:1.一阶标准类型方程求解1)dxdyd(xy)2)xdyydxd(xy)可分离变量：g()ydyfxdx()3)xdxydyd(1(x2y2))一阶微分方程齐次方程:dy(),ydx()x2

8、dxxdyyydxxdyxydxxdyydy4)2d(y)5)2d(x)线性方程：PxyQx()()yxdxdxydxxdyxydxxdyxRyxSy()()6)d(ln)7)d(arctan)dyxyyx2y2ydyn贝努利方程：PxyQxyn()()（0,1)xdxydyxdxydy122dx229)dxln(y)8)d(xy)2222xy2全微分方程xy注：x可作为因变量2.一阶非标准类型方程求解例1.求下列方程的通解1yx3