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时间:2020-07-04
《高中数学 第二章 函数 2.5 简单的幂函数学案 北师大版必修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.5简单的幂函数[核心必知]1.幂函数的定义如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这样的函数称为幂函数.[提醒] 在中学时段只要求关注α=-1,,1,2,3,共5种幂函数的性质.2.函数的奇偶性(1)奇函数:一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数,在奇函数f(x)中,f(x)和f(-x)的绝对值相等,符号相反,即f(-x)=-f(x);反之,满足f(-x)=-f(x)的函数y=f(x)一定是奇函数.(2)偶函数:一般地,图像关于y轴对称的函数叫作偶函数,在偶函数f(x)中,f(x)和f(-x)的值相
2、等,即f(-x)=f(x);反之,满足f(-x)=f(x)的函数y=f(x)一定是偶函数.(3)奇偶性:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性.[问题思考]1.具有奇偶性的函数其定义域有何特点?提示:具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称,由奇函数的定义可知f(-x)=-f(x),故变量x,-x均在定义域中,同理,对于偶函数,由f(-x)=f(x)可知,-x,x也均在定义域内.2.既是奇函数,又是偶函数的函数不存在,对吗?提示:不对.如函数y=0(x∈R),其图像既关于原点对称,又关于y轴对称,所以函数y=0
3、(x∈R)既是奇函数又是偶函数.3.定义在R上的奇函数f(x),f(0)的值是多少?提示:f(0)=0.讲一讲1.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3,当x∈(0,+∞)时为减函数.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)用描点法作出f(x)的图像;(3)给出y=f(x)的单调区间及其值域,并判断其奇偶性.[尝试解答] (1)∵f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3为幂函数,∴m2-m-1=1,解之得m=-1或m=2.当m=-1时,f(x)=x0=1(x≠0),易知不符合题意.当m=2时.f(x)=
4、x-3(x≠0),易知在(0,+∞)上为减函数.∴f(x)=x-3(x≠0).(2)列表:作图:(3)由(2)可知f(x)的单调减区间为(0,+∞)及(-∞,0),f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)为奇函数.(1)幂函数y=xα要满足三个特征:①幂xα的系数为1;②底数只能是自变量x,指数是常数;③项数只有一项.只有满足这三个特征,才是幂函数.(2)幂函数的图像可用描点法得到,其性质可由图像得到.练一练1.(1)若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数,则f(x)=________;(2)已知幂函数y=
5、f(x)的图像过点(2,4),则f(-1)=________.解析:(1)∵f(x)为反比例函数,∴设f(x)==k·x-1(k≠0).又∵f(x)为幂函数,∴k=1,∴f(x)=x-1.(2)设y=xα,把点(2,4)代入得4=2α,∴α=2,∴解析式为y=x2,∴f(-1)=(-1)2=1.答案:(1)x-1 (2)1讲一讲2.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x3+x;(2)f(x)=(x-1)·;(3)f(x)=+;(4)f(x)=[尝试解答] (1)∵函数的定义域为R,且f(-x)=(-x)3+(-x)=
6、-x3-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;(2)∵定义域为{x
7、x>1或x≤-1},定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数;(3)∵定义域为{-2,2},任取x∈{-2,2},则-x∈{-2,2}.f(-x)=0=f(x)=-f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数;(4)法一:可知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,①设x>0,则-x<0,f(-x)=-(-x)2-1=-=-f(x),②设x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)2+1=x2+1=-f(x),∴f(x)为奇函数.法二:作出函
8、数f(x)的图像,如图,由图像可知,f(x)的图像关于原点对称,∴f(x)为奇函数.判断函数的奇偶性常用的方法:(1)定义法:若定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若关于原点对称,则进一步判断f(-x)与f(x)的关系,注意当解析式中含有参数时,要对参数进行分类讨论.(2)图像法:若函数图像关于原点对称,则此函数为奇函数;若函数图像关于y轴对称,则此函数为偶函数.练一练2.判断下列函数是奇函数还是偶函数.(1)f(x)=;(2)f(x)=x3-2x;(3)f(x)=
9、x+1
10、-
11、x-1
12、;(4)f(x)=解:(
13、1)函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.又∵f(-x)===f(x),∴f(x)=是偶函数.(2)定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.(3)函数的定义域为(-∞,+∞),∵f(-x)=
14、-x+1
15、-
16、-x-1
17、=
18、
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