高考数学一轮复习（回扣主干知识+提升学科素养）第五章 第三节 等比数列及其前n项和教案 文.doc

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1、第三节　等比数列及其前n项和【考纲下载】1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的相关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．(2)公比：指定义中的“同一常数”，通常用字母q(q≠0)表示．(3)定义的符号表示：＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)，或＝q(n≥2，n∈N*，q为常数且q≠0)．2．等比数列的

2、通项公式及其推广(1)等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式an＝a1·qn－1.(2)通项公式的推广an＝am·qn－m.3．等比中项如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么＝，即G2＝ab.4．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.5．等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.特别地，若m＋n＝2p，

3、则am·an＝a.(2)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．(3)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.1．b2＝ac是a，b，c成等比数列的充要条件吗？提示：不是．b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0，a，c至少有一

4、个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.2．若a≠0，则数列a，a2，a3，…，an，…的前n项和为Sn＝吗？提示：不一定．当a＝1时，Sn＝na1＝n；当a≠1时，Sn＝.1．(2013·江西高考)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)A．－24B．0C．12D．24解析：选A　由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24.2．已

5、知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)A．－B．－2C．2D.解析：选D　∵a2＝2，a5＝，∴＝＝＝q3，∴q＝.3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝(　　)A．10B．25C．50D．75解析：选B　∵a7a12＝5，∴a8a9a10a11＝(a8a11)(a9a10)＝(a7a12)2＝25.4．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝4＋a，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(4n＋a)－(4n－1＋a

6、)＝4n－4n－1＝3×4n－1.又∵该数列为等比数列，∴4＋a＝3×40，即a＝－1.答案：－15．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.解析：∵8a2＋a5＝0，∴8a2＝－a5，即＝－8.∴q3＝－8，∴q＝－2.∴＝＝＝＝－11.答案：－11数学思想(八)分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：(1)已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．(3)项数的奇、偶数讨论．(

7、4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．[典例]　(2013·天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明Sn＋≤(n∈N*)．[解题指导]　(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q

8、＝＝－.又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1·.(2)证明：Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S1＋＝.当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S2＋＝.故对于n∈N*，有Sn＋≤.[题后悟道]　1.数列与函数有密切的联系，证明与数列有关