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时间:2018-01-19
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1、函数对称中心的求法解析湖北省广水市第一中学(432700)刘才华题目函数的图象是中心对称图象,其对称中心为________.一、利用定义求对称中心分析根据中心对称图形的定义,在函数图象上的任意一点关于对称中心的对称点也在函数的图象上.∴,即.∴,代入函数式有:,化简得:,与是同一函数,则对应系数相等,故,∴,,即函数的对称中心为.点评利用中心对称的定义求解是基本方法,考察基本概念,通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.二、巧取特殊点求对称中心分析在函数的图象上取点、,它们关于对称中心的对称点分别为、也在函数的图象上.∴,
2、相减则,∴或.又若对称中心为,则关于的对称点应在函数图象上,而,∴不是对称中心,故对称中心为.点评这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点,构建关于对称中心坐标的方程,解出对称中心,但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点,因此还要继续检验,排除增解.三、巧构奇函数求对称中心分析把函数变形为,设函数,∵为奇函数,∴其对称中心为,又将函数的图象按向量平移刚好得到,∴的对称中心是由的对称中心按向量平移得到的,即为.∴的对称中心为.点评这里巧妙地构造奇函数,将原函数看作是由奇函数平移得到的,利用奇函数关于原点对称的性质,这样原函数的对称中心
3、就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.四、巧用导函数求对称中心分析如右图示,若函数的对称中心为,且点和点是函数图象上关于对称中心对称的两点,由对称性知,函数在,处的切线斜率相等,设斜率为,则,∴的两根为,,则,∴.又.∴函数的对称中心为.点评这里充分利用对称中心的性质:两点关于对称中心对称,则这两点处的切线平行,这样转化为研究导函数,导函数的对称轴就是对称中心的横坐标,从而求出对称中心.
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