高考数学 导数及其应用的典型例题

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1、第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法1.利用定义求导数2.导数的四则运算法则3.复合函数的求导法则若与均可导，则也可导，且即4.反函数的求导法则若与互为反函数，且单调、可导，则，即5.隐函数求导法求由方程确定的隐函数的导数。只需将方程两边同时对x求导（注意其中变量y是x的函数），然后解出即可。6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题：(1)幂指数函数y=；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如y=,,等等。7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程确定的函数为y=

2、f(x)，其中21可导，且0，则y=f(x)可导，且8.求高阶导数的方法二、求导数公式1.基本初等函数求导公式(1)　　(2)　(3)　　(4)　(5)　　(6)　(7)　　(8)　(9)　　(10)　(11)　　(12)　，(13)　　(14)　(15)　　(16)　2.常见函数的高阶导数(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)213.两个函数乘积的阶导数公式(莱布尼兹公式)三、微分在近似计算中的应用1.微分可以用来求函数在某点的近似值：当

3、Δx

4、很小时，(x0+Δx)≈(x0)+(x0)Δx2.微分可以用来求函数增量的近似值当

5、Δx

6、很小时，Δy≈

7、dy=(x0)Δx3.微分可以用来求函数的近似公式当

8、x

9、很小时，特别当时,有近似公式常用的近似公式有sinx≈x(x以弧度为单位)，tanx≈x，ln(1+x)≈x，ex≈1+x，(1+x)n≈1+nx四、导数的应用1.函数单调性的判别法设且在内可导，（1）若在内，则在上单调递增；（2）若在内，则在上单调递减.说明：闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）结论仍成立.2.函数取极值的充分条件第一充分条件：设函数设在内可导且（或在内可导且在处连续），（1）若在内，当时，；当时，，则在21处取得极大值；（2）若在内，当时，；当时，，则在处取得极小值；（3）若

10、在内，在的左右同号，那么不是的极值点.3.曲线凹凸性的判定法设函数在区间内二阶可导，（1）若在内，则曲线在上是凹的．（2）若在内，则曲线在上是凸的．案例分析一、利用导数定义计算若干问题1.利用导数定义求极限如果存在注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同例1设在点可导，求下列极限（1）（2）已知，利用导数定义求极限解：（1）21（2）====02.利用导数定义求函数的导数例2(1)设，求解：由于，则故因为在处二阶可导，故、在处连续，即、所以注意：函数仅在处存在二阶导数，故求时不能直接利用求导公式。（2）设周期函数的周期为5，可导，如，求曲

11、线在点处的切线方程。解：因为函数的周期为5，故而故，即所以在点处的切线为（3）设，，求解：213.求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析:含有绝对值的函数可转化为分段函数分析:（1）当x>a当x

12、,求,并讨论的连续性分析:（1）先求(见求导数部分)（2）然后讨论在定义域内的连续性例5设问如何选取a,b,c才能使f(x)处处具有一阶连续导数，但在x=0处却不存在二阶导数。6.利用导数求函数例6（1）设f(x)在（0，+∞）内有定义，且，又对，有，求解：令，有得(﹡)而(﹡﹡)由(﹡)、(﹡﹡)得21注意：有乘积的，一般令、互为倒数（2）设函数满足等式，且存在，求解：令，则有得[1]令有[2]由[1]、[2]得有得令得即注意：有和的，一般令、互为相反数；有差的，一般令、相等二、根的存在性问题1.利用零点定理证明方程有实根利用零点定理证明方程在内至少有

13、一个实根方法：21（1）令，在上连续（2）计算，（或，）（3）如果（或），则在内至少有一个实根例7（1）设在时连续，，当时，，则在内有唯一的实根证明：因为，则在上单调增加（中值定理）而故在内有唯一的实根（2）设在上可导，且，，证明方程在内有唯一一个实根证明：令，因为，故要么恒正或恒负，即是单调函数，，故方程在内有唯一一个实根2.利用中值定理证明方程有实根若可导，证明方程=0的相邻两个实根之间必有方程=0的一个实根。例8若=，不用求导数，指出=0的实根个数及所在的区间。证明：因是方程=0的根，即，又因在[1,2]上连续，在（1,2）内可导，故21在[1,2

14、]上满足罗尔定理的条件，则在（1,2）内至少存在一个点，使得=0，即是方程=0的