简支梁弯曲强度的分析

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1、简支梁弯曲强度的分析正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。这里以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。例如在图1所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB段和CD段为横力弯曲。图1纯弯曲分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时

2、的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、b-b。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。纵向线弯曲后变成了弧线、,靠顶面的aa线缩短了，靠底面的bb线伸长了。横向线m-m、n-n在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图2(b)所示。梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1)平面假设梁所有的横

3、截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。(2)单向受力假设认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图2)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。所以中

4、性轴必然垂直于对称轴。图2纯弯曲变形图3中性层由物理及静力学关系可导出横截面上的弯曲正应力公式为（1）式中，M为横截面上的弯矩，Iz为横截面对中性轴的惯性矩，y为横截面上待求应力的y坐标。应用此公式时，也可将M、y均代入绝对值，是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况直接判断。以中性轴为界，梁的凸出一侧为拉应力，凹入一侧为压应力。由式(1)可见，横截面上的最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的点上。用ymax表示最远点至中性轴的距离，则最大弯曲正应力为(2)上式可改写为（3）其中（4）为抗弯截面系数，是仅与截面形状及尺寸有关的几何量，量纲为[长度

5、]3。高度为h、宽度为b的矩形截面梁，其抗弯截面系数为直径为D的圆形截面梁的抗弯截面系数为工程中常用的各种型钢，其抗弯截面系数可从附录的型钢表中查得。当横截面对中性轴不对称时．其最大拉应力及最大压应力将不相等。用式(3)计算最大拉应力时，可在式(4)中取ymax等于最大拉应力点至中性轴的距离；计算最大压应力时，在式(4)中应取ymax等于最大压应力点至中性轴的距离。