第23讲 不变量原理

《第23讲 不变量原理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第23讲不变量原理有一句容易记住的话：如果有重复，寻找不改变的东西！——A·恩格尔大千世界在不断地变化着，既有质的变化，更有量的变化。俗话说：“万变不离其宗”。在纷乱多样的变化中，往往隐藏着某种规律，这就需要我们透过表面现象，找出事物变化中保持不变的规律，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量。从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学。20世纪最重大的数学成就之一——阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理，就是描述某些算子的指标不变量。影响遍及整个数学的陈省身示性类（Chernclass），正是刻画许多流形特征的不变量

2、。一些代数不变量、几何不变量、拓扑不变量的发现，往往是一门学科的开端。经典例题解析让我们通过一个简单例子来揭示不变量原理。例1在某部落的语言中一共只有两个字母：和，并且该语言具有以下性质：如果从单词中删去相连的字母，则词义保持不变。或者说：如果在单词中的任何位置增添字母组合或，则词义不变。试问，能否断言单词与词义相同？解应当注意：在保持词义不变的各种增或删的变化之中，与总是增删同样的个数。因此这些变化不会改变单词中两种字母的个数之差。例如在如下一串“保义变化”中始终比多一个：http://www.028aide.comhttp://www.17kdy.com。回到原来的问题：在单词中，比多一

3、个；而在单词中，却比少一个！因此我们不能断言：这两个单词同义。上述解答用实例说明了不变量原理运用的主要思路。我们面对某些对象，对于它们可以进行一定类型的操作，在操作之后便提出了这样的问题：能否由一种对象变为另一种对象？为了回答这个问题，我们构造出某种量，这种量在所作的操作之下保持不变。如果这种量对于所言的两个对象是不同的，那么便可给予所问的问题以否定的回答。例210名乒乓球运动员参加循环赛,每两名运动员之间都要进行比赛.在循环赛过程中,1号运动员获胜x1次,失败y1次;2号运动员获胜x2次,失败y2次,等等.求证:x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.证明每个运动员共比

4、赛9场,其获胜与失败总数和为9,即xi+yi=9(1<=i<=10).既然每场比赛一些运动员获胜,另一些运动员要失败,那么x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,从而(x12+x22+…+x102)-(y12+y22+…+y102)=(x12-y12)+…+(x102-y102)=9[(x1+x2+…+x10)-(y1+y2+…+y10)]=0所以x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.例3从数组出发，每一步可以选其中两个数，并把它们换成以及。问：是否能在有限步后达到目标？8解由于，故经过多次替换后所得3个数的平方和是一个不变量：而由于这目标不能达到。。目标不能达

5、到。评注这里的不变量是点到点的距离，即点总在以为中心，半径为13的球面上，而由于目标在以为中心半径为14的球面上，这目标不能达到。1.不变量——奇偶性例4一个圆分为6个扇形（图115）。每个扇形中放有一枚棋子。每一步允许将任何两枚棋子分别移入相邻的扇形。试问，能否通过这种操作，把6枚棋子全都移到一个扇形之中？图115图116图117解将6个扇形依次编为1至6号（图116）。对于棋子的任何一种分布，我们考察6枚棋子所在扇形的号码之和。例如，在如图117所示的分布中，我们有。显然，在把一枚棋子移到相邻的扇形中后，它在中的那一项的奇偶性发生了变化。这也就是说，如果同时移动两枚棋子，那么的奇偶性保持

6、不变——这是一个不变量！但是一开始时（图115），我们有，为奇数。而如果所有6枚棋子全都在一个扇形之中，则当该扇形编号为时，就有，都为偶数。所以我们不可能通过所述的移动，把棋子的分布从原来的分布变为全在一个扇形中。点评由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是一个整数的不变性，对于某些问题，找出了不变性就找出了解答。比如，例3通过考察和的奇偶性不变，使问题得以顺利解决。2.不变量——余数例5某海岛上生活着45条变色龙，其中有13条灰色的，15条褐色和17条紫色的。每当两条颜色不同的变色龙相遇时，它们就一起都变为第三种颜色（例如，灰色和褐色相遇，就都变为紫色）。能否经过一段时间，45条变色

7、龙全都变为同一颜色？解每一次变化，都有两条不同颜色的变色龙消失，并随之而“诞生”8两条第三种颜色的变色龙。我们用数组表示变色龙的状况，其中分别表示灰色、褐色和紫色变色龙的数目。于是由题意知，在一次变化之后，或变为，或变为，或变为。我们发现，灰色和褐色变色龙的数目之差的变化只能为和。这就是说：该差被3除的余数保持不变，这是一个不变量。在开始时，有。而如果全都变为同一颜色，则必。故为不可能。例6有3部卡片打印机。