数学模型在现代机械设计中的应用

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1、东北大学研究生考试试卷评分考试科目：课程编号：阅卷人：考试日期：姓名：学号：注意事项1．考前研究生将上述项目填写清楚2．字迹要清楚，保持卷面清洁3．交卷时请将本试卷和题签一起上交东北大学研究生院数学模型在现代机械设计中的应用1.概述现代机械设计是在继承和发展传统设计方法的基础上，融合了现代的科学理论和科学技术的成果而形成的，是以设计产品为目标的一个知识群体的总称。目前，现代机械设计已经发展成为一门新兴的综合性、交叉性学科。同时，几乎所有的工程问题，特别是是现代设计问题，都是与数学模型紧密联系在一起的。建立合

2、理的数学模型，是解决设计问题的关键所在。总体来讲，现代机械设计对数学模型的要求是：（1）数学模型要能在满足各种限制条件下准确和可靠地说明设计问题所要实现的目标，计算过程稳定，计算结果可靠，从而实现设计方案。（2）所建立的数学模型要与当前计算机软硬件发展水平相适应，在算法上容易处理。本文将重点介绍在实践中应用非常广泛的两种现代设计方法，既机械最优化设计和机械可靠性设计，并简要说明相应的数学建模问题。2.机械优化设计人们在长期的生产实践中，很早就已经应用数学方法解决了诸如给定周长求其所围面积最大的问题、给定表面

3、积求其所围体积最大的问题。实际上，这些问题就是最优化问题的雏形。在第二次世界大战以前，处理最优化问题主要应用古典的微分法和变分法。二战后，由于军事上的需要产生了运筹学，为古典法所解决不了的最优化问题提供了新的思路。20世纪50年代发展起来的数学规划理论为现代最优化设计奠定了理论基础。20世纪60年代，最优化方法开始应用于机械设计领域，并取得了长足的发展。总的来说，建立合理的数学模型，是解决机械最优化设计的关键。在机械最优化设计建模及求解过程中，应注意下列几方面的问题。2.1设计变量的选择设计变量是可能影响设

4、计质量和设计结果的可变参数,在机械优化设计中,设计变量是标志各零、部件的结构参数、尺寸大小的用来绘制结构图的各种设计参数,是优化设计的最直接、最有价值的内容。在优化设计的数学模型中,设计变量数量选择的越多,尽管可以淋漓尽致地描述问题,但也可能使建模变得更加困难,导致难以求解；反过来说,设计变量过少,有时就难以得到最佳的设计结果。因此,合理选择一定数量的设计变量不仅影响到模型的规模和建模的难度,也直接关系到优化结果能否令人满意,一般应遵循如下原则:（1）抓主要,舍次要对性能和结构影响较大的参数建议选为设计变量

5、,对设计目标影响甚微的某些参数甚至可以不予考虑,总的原则是在保证优化效果的前提下,使数学模型尽可能简单。（2）注意区分独立变量和相关变量所谓独立变量是指在边界约束范围内和模型中其取值不受其它变量取值变化的影响的参数,即具有相对独立性的变量。在工程实际问题中,有些参数的取值受到其它参数的影响或相互之间存在一定影响,这些参数称为相关变量。大多数情况下相关变量的相关性能通过函数关系式进行准确地表述,但如果数学上从设计变量中消去相关变量存在困难,则也可以将相关变量作为设计变量,但必须要附加相应的状态方程,即补充等式

6、约束函数。（3）不要漏掉必要的设计变量由于借助于计算机自动计算的优化设计方法作为一种高效率的现代设计方法,在数学建模时,就要求对影响设计要求的各种因素通盘考虑、统一规划,不漏掉必要的设计变量,这样才能得到高质量的成功的优化结果。2.2目标函数的建立目标函数是以设计变量表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式,目标函数的构造与选择,关系到优化结果的实用性,从不同角度出发或根据设计对象和要求的不同,可能有若干个目标函数可供选择,在实际的优化设计中,应根据所设计机械系统和结构的具体性质和应用场合,从若干个候选条

7、件中筛选出最合理的标准作为目标函数,一般没有量化的原则和规律可以遵循,但根据以往机械优化设计的许多案例作参考。2.3约束条件的确定产品的设计过程通常对设计变量有各种限制,这些限制用函数的形式反映在模型中,就称为设计变量的约束条件,或简称为设计约束。在机械设计领域,设计的限制是多种多样的,但一般都归属于两大类,第一类称为性态约束,是预测可能被破坏或失效的特征,性态约束具体表现为设计对象的某项性能指标,因而一般性态约束也可以当作目标函数来处理。从计算角度上讲,性态约束的检验相对容易处理,因此可利用目标函数和设计

8、约束相互置换的特点,根据具体问题的具体要求,更加灵活地处理和利用。第二类称为边界约束,用来规定设计变量的取值范围。不论是哪一类的约束条件,为了能定量处理,都必须是可计算的函数,在确定约束函数时应特别注意以下几点:(1)避免出现矛盾约束。各种约束构成的可行域,优化模型一旦形成,求解的任务就是在可行域内寻找最优解,若有矛盾约束,很有可能使可行域成为空集。(2)避免可行域无界。一般说来,可行域应是n维空间中的闭域,如图