电动力学书后习题

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1、第1章电动力学基本方程1.根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式：解：矢量性为①②③微商性④⑤由②得⑥⑦⑥+⑦得上式得令得2.设μ是空间坐标x，y，z的函数，证明：解：①②③3.设为原点到场点的距离，的方向规定为从原点指向场点。⑴证明下列结果，并体会对原变数求微商（）与对场变数求微商（）的关系（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节）⑵求及，其中及均为常矢量。解：⑴⑵4.⑴应用高斯定理证明⑵应用斯托克斯（Stokes）定理证明解：⑴⑵4.已知一个电荷系统的偶极矩定义为利用电荷守恒定律证明的变化率为解：取被积区域大于电荷系统的区域

2、，即V的边界S上的，则。6.若是常矢量，证明除R=0点以外矢量的旋度等于标量的梯度的负值，即,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。解：7.有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷，求⑴空间各点的电场；⑵极化体电荷和极化面电荷分布。解：⑴对空间Ⅰ做高斯面，由：对空间Ⅱ：做高斯面，由对空间Ⅲ:做高斯面，由⑵由时,由边值条件:(由1指向2)8.内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。解：⑴由所以所以方向为对区域Ⅱ由方向为

3、对区域Ⅲ有:(2)由由由同理由得9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。即：解：由均匀介质有①②③④由①②得两边求散度由③④得10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，发向相反。（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）解：令两个线圈中的电流分别为和。电流圈对另一个电流圈中的电流元的作用力为：⑴其中⑵是电流圈在电流元处激发的磁感应强度，是从中的电流元到电流元的矢径。将⑵式代入⑴式，并对积分，利用斯托克斯定理,同时注意到,即得到电流圈对的作用力：⑶同样，电流圈对中的电流元的作用力为

4、:⑷其中⑸是电流圈在电流元处激发的磁感应强度,是从电流元到电流元的矢径。对的作用力为⑹注意到于是有11.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，令在两板接上电动势为的电势，求：⑴电容器两板上的自由电荷面密度⑵介质分界面上的自由电荷面密度；若介质是漏电的，电导率分别为和，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解：由得当介质漏电时由得有同理12.证明：⑴当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足：其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。⑵当两种导电介质内流有恒电流时，分界面

5、上电场线曲折满足，其中σ1和σ2分别为两种介质的电导率。解：⑴切向分量连续有代入上式得：⑵，切向分量连续，有代入上式得13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体的电场线总是平行于导体表面。解：⑴由边值关系：又由边值关系即因为假设为静电情况即导体外的电场线总是垂直于导体表面。⑵在恒定电流情况下：由因为所以即导体内电场线总是平行于导体表面。14.内外半径分别为和的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，极间填充电导率为的非磁性物质（1）证明在介质中任何一点传导

6、电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。（2）求随时间的衰减规律（3）求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度（4)求长度为L的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率解：（1）由（3）得++又即与严格抵消。（2）由=2LE=E=J=-解得当t=0时(3)t场对自由电荷所做的功率密度为(4)而长为L的一段介质总的静电能为W=所以能量耗散功率等于静电能减少率。第2章静电场1.一个半径为R的电解质球，极化强度为，电容率，（1）计算束缚电荷的体密度和面密度；（2）计算球外电荷的体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该

7、带电介质产生的静电场总能量。解；（1）=-由(2)由（3）由于球内电荷为球对称分布，所以电荷在球外产生的势相当于点电荷在球外产生的势。Q==对球内用高斯定理有；4=对球外用高斯定理有（4）由题意得；球外有球内有（）+=（）+（）=2（）=2（）（1+）2.在均匀外电场中放置半径为的导体球，使用分离变量法求下列两种情况的（1）导体球上接有电池，求与地保持电势差；（2）导体球上带总电荷Q。解：（1）以球心为圆点，以外电场方向建立球坐标系，本题的定解问题；由于此问题具有轴对称,从(1)得通解（cos）(R由=得=+（R）由得=+(2)建

8、立同样的坐标系；定解问题为：重复第一问的过程，得到=+有条件（4）得到====-4代入上式代替得=+（R>R）3.场均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与用高斯定理结果相比较。解：由题意得定解问题对(1