高二数学 讲义 直线与平面的位置关系

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1、直线与平面的位置关系一、直线与平面平行1、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.2、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：3、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.数学符号表示：【例1】如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，(1)求证：CD∥平面EFGH；(2)求异面直线

2、AB，CD所成的角．训练：如右图，平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD//平面EFGH.【例2】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.二、直线与平面垂直1、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.数学符号表示：（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直

3、于另一个平面.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.【例3】如图O是正方体下底面ABCD中心，B1H^D1O，H为垂足．求证：B1H平面AD1C．【例4】如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点。（1）求异面直线B1O与AM所成角的大小。（2）求二面角B1—MA—C的正切值。【例5】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中.求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心.训练：如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=A

4、A1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；平面与平面的位置关系一、平面与平面平行1、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.数学符号表示：（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.符号表示：（3）平行于同一个平面的两个平面平行.符号表示：2、面面平行的性质定理：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.【例1】如图，在长

5、方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面C1BD∥平面AB1D1。ADCBA1B1C1D1NMPDCQBA巩固：已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.二、平面与平面垂直1、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.2、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.数学符号表示：【例2】如图，棱长为的正方体中，分别为棱和的中点，为棱的中点.求证：

6、（1）平面；（2）平面平面.巩固：如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．求证：平面ABC⊥平面BSC．CASDB课后作业1.已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点，求证：∥平面.2.如图：E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G。求证：EH//FG3.经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B4.如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C

7、1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.5．如图，在正方体中，E是的中点，F是AC,BD的交点，求证：．6.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；ADBB1C1A1C(2)求证：AC1∥平面CDB1；