量子力学习题集及答案

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1、09光信息量子力学习题集一、填空题1.设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为(6.125)。2.索末菲的量子化条件为(),应用这量子化条件求得一维谐振子的能级()。3.德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做的(电)子衍射实验所证实,德布罗意关系(公式)为()和()。4.三维空间自由粒子的归一化波函数为=(),()。5.动量算符的归一化本征态(),()。6.t=0时体系的状态为,其中为一维线性谐振子的定态波函数,则()。7.按照量子力学理论,微观粒子的几率密度=(),几率流密度=()。8.设描写粒子的状态,是(粒子的几率密度)

2、,在中的平均值为=()。9.波函数和是描写(同一)状态,中的称为(相因子),不影响波函数的归一化,因为()。10.定态是指(能量具有确定值)的状态,束缚态是指(无穷远处波函数为零)的状态。11.是定态的条件是(),这时几率密度和(几率密度)都与时间无关。12.(粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象)称为隧道效应。13.(无穷远处波函数为零)的状态称为束缚态,其能量一般为(分立)谱。14.3.t=0时体系的状态为,其中为一维线性谐振子的定态波函数,则()。15.粒子处在的一维无限深势阱中,第一激发态的能量为(),第一激发态的波函数为(

3、)。16.基态是指(能量最低12/13)的状态,写出一维线性谐振子的基态波函数:()。1.一维线性谐振子的第一激发态的能量为()、第一激发态的波函数为()。2.(对应于同一本征值的本征函数的数目)称为简并度,不考虑电子自旋时,氢原子的第n个能级的简并度为(n2)。3.一维无限深势阱第n个能级的简并度为(1),不考虑电子自旋时,氢原子的第n个能级的简并度为(n2)。4.一维线性谐振子第n个能级的简并度为(1),考虑电子自旋以后,氢原子的第n个能级的简并度为(2n2)。5.氢原子的状态为,角动量平方是()、角动量分量是()。6.厄密算符的定义

4、是:对于两任意函数和,等式()成立。7.力学量算符的本征值必为(实数),力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必(相互正交)。8.力学量算符的属于(不同本征值)的本征函数必相互(正交)。9.量子力学中,力学量算符都是(厄米)算符,力学量算符的本征函数组成(完全)系。10.算符在其自身表象中的矩阵为(对角)矩阵,例如在表象中=()。11.如果[]=0,则存在组成(完全)系的共同本征态,的共同本征态是()。12.如果存在有组成(完全)系的共同本征态,则[]=(0),的共同本征态是()。13.对易子(),()。14.(),(),()。15.()

5、。(),(0)。16.能量与时间的测不准关系是(),和的测不准关系是()。17.在一维情况下,若粒子处于状态中,则在动量表象中的波函数为()。18.一维线性谐振子处在的本征态的迭加态中,则在表象中一维线性谐振子的波函数为=(12/13(0,0,3/5,0,-4/5,0,…))。1.斯特恩—革拉赫证实电子具有(自旋)角动量,它在任何方向上投影只能取两个值()和()。2.=(),=()。3.=(0),[]=(0)。4.在表象中,粒子处在自旋态中,=()。5.在表象中,粒子处在自旋态中,=()。6.在表象中,,则在状态中,=()。7.全同性原理

6、的内容是:(在全同粒子组成的体系中,两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变)。8.泡里原理的内容是:(不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态)。9.描写电子体系的波函数只能是(反对称)波函数,而电子体系的自旋波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。10.电子是(费密)子,服从(费密-狄拉克)统计,描写电子体系的波函数只能是(反对称)波函数。11.描写玻色子体系的波函数只能是(对称)波函数,而玻色子体系的自旋波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。12.描写费密子体系的波函数只能是(反对称)波函数,而费密子体系的自旋波函数则可以是(对称)

7、或者(反对称)的。13.光子是(玻色)子,服从(玻色-爱因斯坦)统计,描写光子体系的波函数只能是(对称)波函数。――――――――――――――――――――――――――――――二、计算、证明题1.粒子在一维势场中运动,试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数.解:当当令得,12/132.一粒子在一为势场中运动,试求粒子的能级和归一化定态波函数(准确解)。解:令则3.一粒子在硬壁球形空腔中运动,势能为试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数(不必归一化)。{提示:在态中}解:当当令得有限,12/134.粒子在一维势场中运动,试

8、从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。解:1.当当令得,5.利用力学量算符本征函数的正交归一完全性,证明式中,为本征值。解:==6.求证:如果算符和有一组共同本征态,而且组成完全系

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