二次函数的图象和性质(培优教案)

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1、二次函数的图象和性质（培优教案）一、课前训练：1.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：x…－2－1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的是　　．（填写序号）①抛物线与轴的一个交点为（3,0）；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是；　　　④在对称轴左侧，随增大而增大．2.已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：第2题yxO①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（A）1（B）2（C）3（D）4二、知识结构：12三、题型讲练：例1已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时

2、，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方，即顶点的纵坐标为正；（3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值．【解】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=1>0，∴开口向上，又∵y=x2－x+m=[x2－x+（）2]－+m=（x－）2+∴对称轴是直线x=，顶点坐标为（，）．（2）∵顶点在x轴上方，∴顶点的纵坐标大于0，即>0∴m>∴m>时，顶点在x轴上方．（3）令x=0，则y=m．即抛

3、物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）．∵AB∥x轴∴B点的纵坐标为m．当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1．∴A（0，m），B（1，m）在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│．∵S△AOB=OA·AB=4．∴│m│·1=4，∴m=±8故所求二次函数的解析式为y=x2－x+8或y=x2－x－8．12练习：1.如图是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①＞0；②++＜0；③2-＜0；④2+8＞4其中正确的是（填写序号）．2.抛物线与x轴的一个交点的坐标为（l,0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是.3如图，二次函数的

4、图象经过点D，与x轴交于A、B两点．⑴求的值；⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）12【解】⑴∵抛物线经过点D()∴∴c=6.⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，　∵AC将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC∴DE

5、=BF又∵∠DME=∠BMF，∠DEM=∠BFE∴△DEM≌△BFM∴DM=BM即AC平分BD∵c=6.∴抛物线为∴A（）、B（）∵M是BD的中点∴M（）设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点解得直线AC的解析式为.⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AON中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”得△AQP≌△ABP．12例2.已知抛物线与轴交于、，与轴交于点C，且、满_Q_C_P_E_y_O_x足条件（1）求抛物线的解析

6、式；（2）能否找到直线与抛物线交于P、Q两点，使轴恰好平分△CPQ的面积？若能，求出、所满足的条件．解：（1）∵△＝，∴对一切实数，抛物线与轴恒有两个交点，由根与系数的关系得①，②．由已知有③．③－①得代入②得．化简得．解得，满足．当时，，不满足，∴抛物线的解析式为．（2）如图，设存在直线与抛物线交于点P、Q，使轴平分△CPQ的面积，设点P的横坐标为，直线与轴交于点E．∵，∴，由轴平分△CPQ的面积得点P、Q在轴的两侧，即，∴，由得．又∵、是方程的两根，∴，∴．又直线与抛物线有两个交点，∴当时，直线与抛物线的交点P、Q，使轴能平分△CPQ的面积．故．

7、12练习：1.已知二次函数与x轴交点的横坐标为、（），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当时，y＞0；③方程有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有正确的结论是　　（只需填写序号）．2.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.12例3、如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.

8、（1）求的值及这个二次函数的表达式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这