高考数学讲义 导数——高中数学的一个交汇点(解韪策略)

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1、分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐导数——高中数学的一个交汇点以能力为立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。在现行的高中数学教材中，导数处于一种特殊的地位，这决定了与之相联系的知识备受各类考试的关注。导数融数形于一体，既有求导的运算，又有其几何意义，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具，它常与函数、不等式、数列、向量、解析几何等内容交叉渗透、自然交汇，使得以导数为载体的数学问题丰富多彩、新颖别致，且自然流畅。1导数与函数、方程交汇例1

2、已知函数的图象如图，则（）xA．B．C．D．解：由图象知，a>0，不妨设函数在点（x1,f(x1)）、（x2,f(x2)）处取得极值，则x1、x2是方程的两根。根据韦达定理知，，故b<0，因此正确答案为（A）。点评：可导函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为0且该点两侧的导数值异号。运用此性质可轻松解决非常规的极值或参数范围问题。本题的上述解法将导数与函数、方程交汇，显示了导数应用的多样性。例2函数是R上的奇函数，当x=1时取得极小值-2。（1）求函数的单调区间和极大值；（2）证明对任意，不等式恒成立。解：（1）由奇函数定义得d=0，因此∵f(1)=-2是f(x)的极小值，

3、∴，∴，，。当时，当时，当时，故f(x)在和为增函数，在上为减函数。所以f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2。（2）由以上可知，在[-1，1]上f(x)有最大值M=f(-1)=2,最小值m=f(1)=-2，所以对任意，，即不等式成立。点评：本题借助于导数研究函数的单调性，巧妙地把导数知识揉入到函数中。例3用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的体积最大？并求出它的最大容积。解：设容器底面短边长为x（m），则另一边长为x+0.5（m），高为(m)，故容器体积为（0

4、共4页）2021年6月23日星期三分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐令得，或（舍去），经检验，为极大值，而由于定义域内只有一个极值，故为最大值。因此，当m，容器高为1.2m时，容器的体积最大，最大为1.8m3。点评：在数学建模、函数与导数等的交汇处设计应用问题，是高考新课程的一大特点。2导数与不等式交汇例4已知a＞0，n为正整数，（Ⅰ）设y=，证明；（Ⅱ）设fn(x)=xn－，对任意n≥a，证明f’n+1(n+1)＞（n+1）f’n（n）。解：（Ⅰ）因为=所以=。（Ⅱ）对fn(x)=xn－（x－a）n求导：f’n(x)=nxn－1－n（x－a）n－1∴f’n(n)=n[nn－1－（n－a

5、）n－1]当x≥a＞0时f’n(x)＞0，∴当x≥a时，fn(x)=xn－（x－a）n是增函数，因此，当n≥a时，（n+1）n－（n+1－a）n＞nn－（n－a）n，∴f’n+1(n+1)=（n+1）[（n+1）n－（n+1－a）n]＞（n+1）[nn－（n－a）n]点评：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与证明不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力。应该说，本题所用知识并不多，但由于考生对用导数法证明不等式这一思想方法不适应，以致于丢分现象很严重，这反映了学生未能把握现行教材的思想内涵，不能做到学以致用，融汇贯通，这一现象值得深思。3导数与数列知识交汇例5求

6、和：；解：由得，将两边同对x求导，得令x=1得，即原式=。点评：本题若当作数列求和，用传统方法求解则技巧性较高。以上解法通过构造二项式，运用导数工具来求和，显得别具一格。例6二次函数y=f(x)图象经过点（0，10），导函数。当（）时，f(x)的函数值为整数的个数记为，求数列的通项公式。解：设f(x)=x2-5x+c(c为常数)∵图象经过点（0，10）∴c=10∴f(x)=x2-5x+10=∵当（）时，f(x)的函数值为整数的个数是，Wisdom&Love第4页（共4页）2021年6月23日星期三分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐当时在的值域是，∴；当时在的值域是，∴；∵，∴时递增，即当

7、时，在递增，值域为，∴。综上所得，。点评：本题利用导数给出函数，将函数值域与数列通项紧密结合，显得新颖别致。4导数与向量的交汇例7已知向量，求的最小值。解：，记之为f(x),则，令得，x=-3或x=1。列表如下：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4+0-0+递增9递减递增∴当时，的最小值是。点评：本题借助向量的坐标得到了关于x的函数，然后用导数知识研究函数闭区间上的最值问题，交汇的自然流畅。5导数与解析几何交汇例8已知抛物线C1：