椭圆四:面积问题

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1、椭圆四:有关面积问题1.(2010一模)海淀19.(本小题满分13分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,且,点(1,)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过的直线与椭圆相交于两点,且的面积为,求以为圆心且与直线相切的圆的方程.答案:19.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,由题意可得:椭圆C两焦点坐标分别为,..……………1分..……………3分又,……………4分故椭圆的方程为..……………5分(Ⅱ)当直线轴,计算得到:,,不符合题意..……………6分当直线与轴不垂直时,设直线的

2、方程为:,由,消去y得,.……………7分显然成立,设,则.……………8分又即,.……………9分又圆的半径.……………10分所以化简,得,即,解得所以,,.……………12分故圆的方程为:..……………13分(Ⅱ)另解:设直线的方程为,由,消去x得,恒成立,设,则……………8分所以.……………9分又圆的半径为,.……………10分所以,解得,所以,……………12分故圆的方程为:..……………13分2.朝阳(2011一模理)19.(本小题满分14分)已知,为椭圆的左、右顶点,为其右焦点,是椭圆上异于,的动点,且面积的

3、最大值为.(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;(Ⅱ)直线与椭圆在点处的切线交于点,当直线绕点转动时,试判断以为直径的圆与直线的位置关系,并加以证明.答案:19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由题意可设椭圆的方程为,.由题意知解得,.故椭圆的方程为,离心率为.……6分(Ⅱ)以为直径的圆与直线相切.证明如下:由题意可设直线的方程为.则点坐标为,中点的坐标为.由得.设点的坐标为,则.所以,.……………………………10分因为点坐标为,当时,点的坐标为,点的坐标为.直线轴,此时以为直径的圆与直线相切.当时,则直线的斜率.所以直

4、线的方程为.点到直线的距离.又因为,所以.故以为直径的圆与直线相切.综上得,当直线绕点转动时,以为直径的圆与直线相切.………14分3.(2011顺义二模理19).(本小题满分14分)已知椭圆C的左,右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左,右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点,直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。(1)求椭圆C的方程;(2)求线段MN长度的最小值;(3)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上的T满足:的面积为。试确定点T的个数。解(1)因为,且,所以所以椭圆C的方程为………………

5、…………………………….3分(2)易知椭圆C的左,右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在,且故可设直线AS的方程为,从而由得设,则,得从而,即又,故直线BS的方程为由得,所以故又,所以当且仅当时,即时等号成立所以时,线段MN的长度取最小值………………………………..9分(3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时,此时AS的方程为,,_D_x_y_N_S_A_B_M_O所以,要使的面积为,只需点T到直线AS的距离等于,所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上设,则由,解得①当时,由得由于,故直线与椭圆C有两

6、个不同交点②时,由得由于,故直线与椭圆C没有交点综上所求点T的个数是2.…4.(2010寒假)东城19.(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点,一个焦点,且长轴长与短轴长的比是.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若椭圆在第一象限的一点的横坐标为,过点作倾斜角互补的两条不同的直线,分别交椭圆于另外两点,,求证:直线的斜率为定值;(Ⅲ)求面积的最大值.答案:19.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)设椭圆的方程为.由题意………………………………………………2分解得,.所以椭圆的方程为.………………………………………………4分

7、(Ⅱ)由题意知,两直线,的斜率必存在,设的斜率为,则的直线方程为.由得.………………6分设,,则,同理可得,则,.所以直线的斜率为定值.……………………………………8分(Ⅲ)设的直线方程为.由得.由,得.……………………………………10分此时,.到的距离为,则.因为使判别式大于零,所以当且仅当时取等号,所以面积的最大值为.………………………………………………………13分5.(2010一模)石景山19.(本题满分14分)已知椭圆的离心率为,长轴长为,直线交椭圆于不同的两点A、B。(1)求椭圆的方程;(2)求的值

8、(O点为坐标原点);(3)若坐标原点O到直线的距离为,求面积的最大值。答案:19.(本题满分14分)解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意解得由2分所求椭圆方程为3分(2)设,其坐标满足方程消去并整理得4分则(*)5分故6分经检验满足式(*)式8分(3)由已知,可得9分将代入椭圆方程,整理得10分11分12分当且仅当,即时等号成立,经检验,满足(*)式当时,综上可知13分当

9、AB最大时,的面积最大值1

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