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1、线性规划在现实生活中的应用03742011127崔钊03742011121王源03742011151万成（电子信息工程四区队）【摘要】：线性规划是运筹学中一种最常用的方法。线性规划在科学决策与经营管理中实效明显,但是对于规模较大的线性规划模型,其求解过程非常烦琐,不易得出结果。本文简要介绍了线性规划的发展历程以及用ＭＡＴＬＡＢ程序实现了线性规划问题数学模型的求解方法,并进一步通过对实例模型求解方法的分析比较,证明所采用的程序方法有效快捷，为我们解决复杂的线性规划问题提供了方便。【关键词】：线性规划；建模；方案；
2、ＭＡＴＬＡＢ；约束条件;最优解；线性规划是运筹学中一种最常用的方法。线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学的方法。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下,使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面:一是系统的任务已定,如何合理筹划,精细安排,用最少的资源去实现这个任务;二是资源的数量已定,如何利用、分配,使任务完成得最多.前者是求极小,后者是求极大.线性规划是在满足企业内、外部的条件下,实现管理目标和极值问题,就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。一、线性规划及其求解概述自从193
3、8年由年仅26岁的苏联列宁格勒大学数学教授康托洛维奇提出线性规划后,40年代又由丹捷格(G.B.Dantzig)教授独立地在美国发现,并找到了一种计算线性规划模型的有效方法,也就是我们今天所说的“单纯形法”(Simpexmethod)。之后,在经济学家库普曼斯(T.C.Koopmans)的呼吁下,许多年轻一代的经济学家,比如其中的阿罗、萨谬尔逊、西蒙、多夫曼和胡尔威茨等都对线性规划表现出了极大的兴趣,并在运筹学的某些领域中发挥过重要作用,他们都因此而获得了诺贝尔奖金。1975年,康托洛维奇和库普曼斯也因“最优质
4、资源配置理论的贡献”而获诺贝尔经济学奖,遗憾的是丹捷格却榜上无名。现在,在运筹学的众多分支学科中,线性规划已成为研究最为深入,实用效果也最为明显的一个分支。有了单纯形法以后,对于简单的线性规划模型来说,用相应的方法凭着一支笔和一张纸就能进行求解,但是对于规模较大的模型来说,这种办法就行不通了,虽然手工列表进行计算从原理上讲并不困难,但是却非常烦琐,单调而且容易出错。从生产和管理以及科学研究中提出来的大量实际问题,其决策变量和约束条件多到十几个、几十个、几百个,甚至成千上万个,这些问题就不是人力所能及的了。由于电
5、子计算机的普及,求解线性规划以及许许多多运筹学问题的软件包也应运而生,并走向市场,成为大型科研机构、厂矿企业、学校和普通用户都不可缺少的一种工具,Matlab就是其中一个比较常用的软件。二、线性规划的定义、数学模型1.线性规划的定义:根据线性规划模型的基本结构,在满足一组约束条件下,求一组变量的值,使得其成为目标函数的最优解。(1)变量变量又叫未知数,它是实际系统的未知因素,也是决策系统中的可控因素,一般称为决策变量,常引用英文字母加下标来表示,如X1,X2,X3,…,Xn等。(2)目标函数将实际系统的目标,用
6、数学形式表现出来,就称为目标函数,线性规划的目标函数是求系统目标的数值,即极大值,如产值极大值、利润极大值或者极小值,如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。(3)约束条件约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面,如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等,这些因素都对模型的变量起约束作用,故称其为约束条件。约束条件的数学表示形式为三种,即≥、=、≤。线性规划的变量应为正值。2.线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取得最大值或最小值的问题。一般
7、地,线性规划问题的数学模型是:a11x1+a12x2+…+a1mxm≤b1a21x1+a22x2+…+a2mxm≤b2amx1+an2x2+…+anmxm≤bm其中aij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),bi(i=1,2,…,n)都是常量,xj(j=1,2,…,m)是非负变量,求目标函数Z=C1X1+C2X2+…+CmXm,的Zmax或Zmin。三、线性规划模型的建立（一）线性规划问题的提出公路工程混合料配合比设计是一门新的工程实用技术，它是在满足一定技术指标的前提下，以取得最大经济效益为目标来确定各
8、种材料的最佳配方比例，从而提高工程质量并降低生产成本。它是工程建设中的一个重要环节，同时也是工程技术管理的重要内容。混合料配合比计算，常规方法有式计算和图解法。这两种方法主要通过手工完成，计算工作量大、出错率高、精度低，且都没有考虑生产成本问题，其计算及结果虽然满足规范要求，但混合料总体成本却很少能达到最低。例:某混凝土厂出售商品混凝土,原料供应情况如下表(表1):表1 原料供应情况及
